2022-2023学年山西省长治市潞安矿业 集团 公司漳村矿中学高三数学文联考试题含解析

2022-2023学年山西省长治市潞安矿业 集团 公司漳村矿中学高三数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，是的反函数，若（），则的值为（    ） A．10       B．4        C．1        D． 参考答案： 【解析】于是 2. 已知为非零向量，则“函数 为偶函数”是“”的 A．充分不必要条件          B．必要不充分条件  C．充要条件                   D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 略 3. 函数的定义域是 (   ) A．    B． C．       D． 参考答案： D 4. 设l，m，n为不重合的三条直线，其中直线m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的     A．充要条件    B．充分不必要条件     C．既不充分也不必要条件    D．必要不充分条件  参考答案： B 略 5. 已知集合，集合，则（     ） A．     B．   C．　　D． 参考答案： B =，∴=， 又=，∴   答案B 6. 设f（x）是定义在R上奇函数，且当x＞0时，等于（   ） A．－1           B．            C．1              D．－ 参考答案： A 7. 设集合A={}，B={}，则   A．(2，+∞)    B．[2，+∞)    C．    D．R 参考答案： D 8. 的展开式的常数项是（     ）                                    [ 参考答案： D 【命题立意】本题考查二项式定理的内容。 第一个因式取，第二个因式取 得：， 第一个因式取，第二个因式取得：  展开式的常数项是． 9. 设是两条不同直线，是两个平面，则的一个充分条件是         （    ） A．                B．  C．                D． 参考答案： C 10. 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若，则的最大值为（） A．3 B． C． D．2 参考答案： A 由题意，画出右图． 设与切于点，连接． 以为原点，为轴正半轴， 为轴正半轴建立直角坐标系， 则点坐标为． ∵，． ∴． ∵切于点． ∴⊥． ∴是中斜边上的高． 即的半径为． ∵在上． ∴点的轨迹方程为 ． 设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下： 而，，． ∵ ∴，． 两式相加得：          (其中，) 当且仅当，时，取得最大值3．   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），给出以下四个论断： ①它的周期为π； ②它的图象关于直线x=对称； ③它的图象关于点（，0）对称； ④在区间（﹣，0）上是增函数， 以其中两个论断为条件，另两个论断作结论，写出你认为正确的一个命题，条件　 　结论　  　．（注：填上你认为正确的一种答案即可） 参考答案： ①②，③④ 另：①③?②④也正确．   【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】若 ①f（x）的周期为π，则 函数f（x）=sin（2x+φ），若再由②，可得φ=，f（x）=sin（2x+），显然能推出③④成立． 【解答】解：若①f（x）的周期为π，则ω=2，函数f（x）=sin（2x+φ）． 若再由②f（x）的图象关于直线x=对称，则sin（2×+φ） 取最值， 又∵﹣＜φ＜， ∴2×+φ=， ∴φ=． 此时，f（x）=sin（2x+），③④成立， 故由①②可以推出 ③④成立． 故答案为：①②，③④．另：①③?②④也正确． 【点评】本题考查正弦函数的对称性，三角函数的周期性与求法，确定出函数的解析式，是解题的关键． 　 12. 若函数是奇函数，则______． 参考答案： 因为函数为奇函数，所以，即。 13. 已知向量，，且，则实数等于__　　_____ 参考答案： 9 略 14. 设a为实数，函数 的导函数为，且 是偶函数，则曲线y=f(x)在原点处的切线方程是________． 参考答案： 15. 数列{an}满足a1=1，且对任意的正整数m，n都有am+n=am+an+mn，则=         ． 参考答案： 【考点】数列递推式；数列的求和． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】先令n=1找递推关系并求通项公式，再利用通项的特征求和，即可得到结论． 【解答】解：令n=1，得an+1=a1+an+n=1+an+n，∴an+1﹣an=n+1 用叠加法：an=a1+（a2﹣a1）+…+（an﹣an﹣1）=1+2+…+n= 所以==2（） 所以==2×= 故答案为： 【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，属于中档题． 16. 如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是             ． 参考答案： 17. （x﹣）6的展开式中，含x5项的系数为_____． 参考答案： 15 【分析】 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于5，求出r的值，即可求得含x5项的系数． 【详解】解：（x﹣）6的展开式中，它的展开式的通项公式为Tr+1＝?（﹣1）r?， 令6﹣＝5，求得r＝2，可得含x5项的系数为＝15， 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆（）的上顶点与抛物线（）的焦点重合. （1）设椭圆和抛物线交于，两点，若，求椭圆的方程； （2）设直线与抛物线和椭圆均相切，切点分别为，，记的面积为，求证：. 参考答案： 解：（1）易知，则抛物线的方程为 由及图形的对称性，不妨设， 代入，得，则. 将之代入椭圆方程得，得， 所以椭圆的方程为. （2）设切点，即，求导得，则切线的斜率为，方程，即， 将之与椭圆联立得， 令判别式 化简整理得，，此时 设直线与轴交于点，则 由基本不等式得， 则，仅当时取等号，但此时，故等号无法取得，于是. 19. 已知函数f（x）=ax2﹣lnx，a∈R． （1）当a=1时，求函数f（x）在点 （1，f（1））处的切线方程； （2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）当x∈（0，+∞）时，求证：e2x3﹣2x＞2（x+1）lnx． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，求出切点，由点斜式方程可得切线的方程； （2）求出导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，求出单调区间，求得最小值，解方程可得a的值； （3）由（2）得当x＞0时， e2x2﹣lnx≥，可令g（x）=+1，求出导数，单调区间，可得最大值，即可得证． 【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣lnx的导数为f′（x）=2x﹣， 函数f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2﹣1=1， 切点为（1，1），可得切线方程为y﹣1=x﹣1，即x﹣y=0； （2）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数为f′（x）=， 当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）为减函数，无最小值； 当a＞0时，在（0，）上，f′（x）＜0；在（，+∞）上，f′（x）＞0． 所以当x=处取得极小值，也为最小值﹣ln， 令﹣ln=，解得a=e2， 则存在实数a=e2，使f（x）的最小值为； （3）证明：由（2）得当x＞0时， e2x2﹣lnx≥， 可令g（x）=+1，则g′（x）=， 当0＜x＜e时，g′（x）＞0；当x＞e时，g′（x）＜0． 则x=e处，g（x）取得最大值g（e）=1+， 且1+＜1+=， 则e2x2﹣lnx＞+1， 即e2x3﹣2x＞2（x+1）lnx． 20. （本小题满分12分） 已知数列 （1）若求数列的通项公式； （2）在（1）的条件下，数列中是否存在三项构成等差数列.若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由. 参考答案： 21. 已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对定义域内的任意x，y都有f（x﹣y）=成立，且f（1）=1，当0＜x＜2时，f（x）＞0． （1）证明：函数f（x）是奇函数； （2）试求f（2），f（3）的值，并求出函数f（x）在[2，3]上的最值． 参考答案： 【考点】抽象函数及其应用；函数的最值及其几何意义． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义以及抽象函数之间的关系即可证明函数f（x）是奇函数； （2）利用赋值法进行求解，先判断函数的周期性，利用单调性的定义证明函数在[2，3]上的单调性进行求解即可． 【解答】（1）证明：函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称． 又f（x﹣y）=， 所以f（﹣x）=f[（1﹣x）﹣1]= = = = = =， 故函数f（x）奇函数． （2）令x=1，y=﹣1，则f（2）=f[1﹣（﹣1）]= =， 令x=1，y=﹣2，则f（3）=f[1﹣（﹣2）]= = =， ∵f（x﹣2）==， ∴f（x﹣4）=， 则函数的周期是4． 先证明f（x）在[2，3]上单调递减，先证明当2＜x＜3时，f（x）＜0， 设2＜x＜3，则0＜x﹣2＜1， 则f（x﹣2）=，即f（x）=﹣＜0， 设2≤x1≤x2≤3， 则f（x1）＜0，f（x2）＜0，f（x2﹣x1）＞0， 则f（x1）﹣f（x2）=， ∴f（x1）＞f（x2）， 即函数f（x）在[2，3]上为减函数， 则函数f（x）在[2，3]上的最大值为f（2）=0，最小值为f（3）=﹣1． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的最值及其几何意义等有关知识，综合性较强，难度较大． 22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ． （I）求出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （II）设直线l与曲线C的交点为A，B，求|AB|的值． 参考答案： 【分析】（1）使用加减消元法消去参数t即得直线l的普通方程，将极坐标方程两边同乘ρ即可得到曲线C的直角坐标方程； （2）求出曲线C的圆心到直线l的距离，利用垂径定理求出|AB|． 【解答】解：（I）∵（t为参数），∴x﹣y=， 即直线l的普通方程为﹣y+2﹣=0． 由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y． ∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y．即x2+（y﹣）2=3． （II）由（1）知曲线C的圆心为（0，），半径r=． ∴曲线C的圆心到直线l的距离d==． ∴|AB|=2=2=2． 【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于基础题．