2022-2023学年浙江省温州市第十二中学高三数学文期末试题含解析

2022-2023学年浙江省温州市第十二中学高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （14分）     已知数列是等差数列，，。 （1）       求数列的通项公式； （2）       求数列的前n项和； （3）       当n是自然数时，不等式是否有解？请说明理由。 参考答案： 解析：（1）由条件可求得公差，所以数列的通项公式为      4分 （2）前n项和；                                4分 （3）解不等式，即， 有或，所以在自然数范围内n无解。                         6分 2. 运行如右图所示的算法框图，则输出的结果S为 A．－1    B．1      C．－2       D．2 参考答案： A 3. 已知角α的终边在第二象限，且sinα=，则tanα等于(     ) A． B．﹣ C． D．﹣ 参考答案： D 考点：同角三角函数基本关系的运用． 专题：三角函数的求值． 分析：由α终边为第二象限角，根据sinα的值，求出cosα的值，即可确定出tanα的值即可． 解答： 解：∵角α的终边在第二象限，且sinα=， ∴cosα=﹣=﹣， 则tanα=﹣． 故选：D． 点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 4. 若三角方程与的解集分别为E,F，则                                    （     ） A．EF          B．EF           C．E=F            D． 参考答案： A 5. 已知集合A={x|x2≥1}，B={x|y=}，则A∩?RB=（　　） A．（2，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．[﹣1，0]∪[2，+∞） 参考答案： B 考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 集合． 分析： 求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可． 解答： 解：由A中不等式解得：x≥1或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）， 由B中y=，得到1﹣log2x≥0，即log2x≤1=log22， 解得：0＜x≤2，即B=（0，2]， ∴?RB=（﹣∞，0]∪（2，+∞）， 则A∩?RB=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）， 故选：B． 点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 6. 已知两条直线和，与函数的图像从左至右相交于点，与函数的图像从左至右相交于点.记线段和在轴上的投影长度分别为.当变化时，的最小值为 A. B. C. D. 参考答案： C 略 7. 已知集合，，则A∩B=（    ） A．{－1,0}         B．{0}       C．{－1}        D． 参考答案： C 因为成立，所以属于集合，属于集合，又因为不成立，不成立，所以不属于集合，不属于集合，综上可得，故选C.   8. 一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到圆面的距离是4cm，则该球的体积是（  ）  A．    B．    C．    D． 参考答案： C 略 9. 已知各项为正的等比数列中，与的等比数列中项为，则的最小值   A.16            B.8           C.           D.4 参考答案： B 略 10. 已知角的终边经过点（1，-2），则（    ） A. B. -2 C. D. 参考答案： D 【分析】 根据角的终边经过的点可知，角在第四象限，进而求得函数值。 【详解】由题得，故选D。 【点睛】本题考查任意角三角函数，属于基础题。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，若函数y=ax（a＞0，且a≠1）的图象经过区域M，则实数a的取值范围为　　． 参考答案： [2，9] 【考点】简单线性规划的应用． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题 【解答】解：平面区域M如如图所示． 求得A（2，10），C（3，8），B（1，9）． 由图可知，欲满足条件必有a＞1且图象在过B、C两点的图象之间． 当图象过B点时，a1=9， ∴a=9． 当图象过C点时，a3=8， ∴a=2． 故a的取值范围为[2，9]． 【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组、指数函数的图象与性质，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础． 12. 函数的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为          . 参考答案： 13. 设A是整数集的一个非空子集，对于，则k是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有      个。 参考答案： 7 14. 对给定的正整数，定义，其中，，则          ；当时，          ． 参考答案： 64，    15. 若函数f（x）=+x，则[f′（0）+f′（1）]f′（2）=         ． 参考答案： 91 【考点】导数的运算． 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；导数的概念及应用． 【分析】求出原函数的导函数，得到f′（﹣1）=﹣2，代入导函数解析式，则[f′（0）+f′（1）]f′（2）可求． 【解答】解：由f（x）=+x，得 f′（x）=x2﹣2f′（﹣1）x+1，则f′（﹣1）=1+2f′（﹣1）+1， ∴f′（﹣1）=﹣2， ∴f′（x）=x2+4x+1， 则[f′（0）+f′（1）]f′（2）=（1+6）×13=91． 故答案为：91． 【点评】本题考查导的运算，关键是求出f′（﹣1）=﹣2，是中档题． 16. 设为椭圆的左、右焦点，经过的直线交椭圆于两点，若是面积为的等边三角形，则椭圆的方程为          . 参考答案： 由题意，知  ①，又由椭圆的定义知，＝  ②，联立①②，解得，，所以＝，所以，，所以，所以，所以椭圆的方程为. 17. 已知函数，给出下列四个说法： 　　①若，则；　 ②的最小正周期是； 　　③在区间上是增函数；　 ④的图象关于直线对称． 　　其中正确说法的序号是______. 参考答案： ③④ 函数，若，即，所以，即，所以或，所以①错误；所以周期，所以②错误；当时，，函数递增，所以③正确；当时，为最小值，所以④正确，所以正确的有2个，选B. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知，求函数 的最大值和最小值 参考答案：                                                      当=3时，                              当=时，                            19. （本小题满分14分） 已知函数. （1）若曲线在处的切线为，求的值； （2）设，，证明：当时，的图象始终在的图象的下方； （3）当时，设，（为自然对数的底数），表示导函数，求证：对于曲线上的不同两点，，，存在唯一的，使直线的斜率等于． 参考答案： 【知识点】导数,导数应用 B11  B12 （1）（2）略(3)略 解析：(1)，此时，又，所以曲线在点处的切线方程为，由题意得，，.  ……… 3分 （2）则 在单调递减，且 当时，即， 当时，的图像始终在的图象的下方.        ……………   7分 （3）由题得，，， ∵，∴，∴， 即， ………………………………………9分 设,则是关于的一次函数，故要在区间证明存在唯一性，只需证明在区间上满足.下面证明之： ，， 为了判断的符号，可以分别将看作自变量得到两个新函数， 讨论他们的最值： ，将看作自变量求导得， 是的增函数， ∵，∴；………..11分 同理：，将看作自变量求导得， 是的增函数， ∵，∴；∴，                                              ∴函数在内有零点，……………..13分 又，函数在是增函数， ∴函数在内有唯一零点，从而命题成立.    ……14分 【思路点拨】（1）由题意直接求解即可；（2）要证当时，的图象始终在的图象的下方，就是证明当时，； 令，由导数易得在单调递减，且当时，即得证. （3），，∵，得， 设,则是关于的一次函数，故要在区间证明存在唯一性，只需证明在区间上满足. 20. 如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点．若，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ） 求点到平面的距离； （Ⅲ）求直线平面所成角的正弦值．   参考答案： 解析：如图建立空间直角坐标系如图，则A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），E（，0，0），F（0，，），C（，3，0）                                       （I）取PC的中点G，连结EG，则G           （II）设平面PCE的法向量为                   （III）  直线FC与平面PCE所成角的正弦值为.     21. 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．)(1)根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯； (2)根据以上数据完成下列2×2的列联表： (3)在犯错误的概率不超过1%的前提下，你能否认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并说明理由．附     主食蔬菜 主食肉类 合计 50岁以下       50岁以上       合计         P(≥) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考答案： 略 22. （本小题满分14分）  如图，矩形中，，．，分别在线段和上，∥，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．    （Ⅰ）求证：∥平面；    （Ⅱ）若，求证：；    （Ⅲ）求四面体体积的最大值．                参考答案： （Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）2 试题分析：（Ⅰ）先证明四边形MNCD是平行四边形，利用线面平行的判定，可证 平面MFD；（Ⅱ）连接ED，设 ．根据平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，可证NE⊥平面ECDF，从而可得FC⊥NE，进一步可证FC⊥平面NED，利用线面垂直的判定，可得ND⊥FC；（Ⅲ）先表示出四面体NFEC的体积，再利用基本不等式，即可求得四面体NFEC的体积最大值． 试题解析：（Ⅰ）法一：∵,   ∴, ,     ∴,      ∴是平行四边形,                      ∴,       ∴平面,