2022-2023学年山西省太原市清徐县县城第二中学高三数学文期末试题含解析

2022-2023学年山西省太原市清徐县县城第二中学高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知直线，平面，，那么“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件         B．必要而不充分条件       C. 充要条件                 D．既不充分也不必要条件 参考答案： D 2. “<1”是“x>1”的(　　　　) A、充分不必要条件                  B、必要不充分条件 C、充分必要条件                    D、既不充分也不必要条件 参考答案： B 3. 设，若函数在区间上有三个零点，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 参考答案： D 4. 已知关于的方程在有且仅有两根，记为，则下列的四个命题正确的是（     ） A．        B．  C．      D． 参考答案： C 略 5. 设集合A={0，1}，集合B={x|x＞a}，若A∩B只有一个元素，则实数a的取值范围是（　　） A．{a|a＜1} B．{a|a≥1} C．{a|0≤a＜1} D．{a|a≤1} 参考答案： C 【考点】交集及其运算． 【专题】集合思想；综合法；集合． 【分析】根据集合A中元素的个数以及交集的个数求出a的范围即可． 【解答】解：∵集合A={0，1}，集合B={x|x＞a}， 若A∩B只有一个元素， 则0≤a＜1， 故选：C． 【点评】本题考察了集合的运算，注意“=”能否取到，本题是一道基础题． 6. 若实数满足方程，实数满足方程，则函数的极值之和为(    ) A. B. C.2 D.4 参考答案： D 7. 执行以下程序框图，所得的结果为（   ）   A．1067          B．2100         C．2101      D． 4160   参考答案： C 8. 函数在一个周期内的图象是                  A                                        B                   C                                        D 参考答案： B 9. 等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=（　　） A．26 B．29 C．212 D．215 参考答案： C 【考点】导数的运算；等比数列的性质． 【专题】计算题． 【分析】对函数进行求导发现f′（0）在含有x项均取0，再利用等比数列的性质求解即可． 【解答】解：考虑到求导中f′（0），含有x项均取0， 得：f′（0）=a1a2a3…a8=（a1a8）4=212． 故选：C． 【点评】本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法． 10. 函数的定义域为      A.       B.          C.           D. 参考答案： 答案:B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 不等式的解集为               . 参考答案： 略 12. 是虚数单位，=     ▲    . 参考答案： 13. 多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为　　cm2． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC．该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，进而可得答案． 【解答】解：如图所示， 由三视图可知： 该几何体为三棱锥P﹣ABC． 该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体， 由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm2， 由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm， 故几何体的体积V=×8×4=cm3， 故答案为：． 14. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是　　． 参考答案： 3 考点： 循环结构．343780 专题： 压轴题；图表型． 分析： 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出i，从而到结论． 解答： 解：当输入的值为n=12时， n不满足判断框中的条件，n=6， n不满足判断框中的条件，n=3， n满足判断框中的条件，n=10，i=2， n不满足判断框中的条件，n=5， n满足判断框中的条件，n=16，i=3， n不满足判断框中的条件，n=8， n不满足判断框中的条件，n=4， n不满足判断框中的条件，n=2， n不满足判断框中的条件，n=1， n满足下面一个判断框中的条件，退出循环， 即输出的结果为i=3， 故答案为：3． 点评： 本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题． 15. 已知向量，满足，，，则=       ． 参考答案： 考点：平面向量数量积的运算；向量的模． 专题：计算题；平面向量及应用． 分析：直接利用向量的数量积的性质即可求解 解答： 解：∵==== 故答案为：2 点评：本题主要考查了平面向量的数量积的基本运算，属于基础试题 16. 在△ABC中，三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若a2+b2=2018c2，则=　　． 参考答案： 2017 【考点】正弦定理． 【分析】利用余弦定理表示出cosC，把已知等式代入得到关系式，记作①，利用正弦定理化简，整理即可得出所求式子结果． 【解答】解：在△ABC中，∵a2+b2=2018c2， ∴cosC==，即2abcosC=2017c2，① 由正弦定理=2R，得到a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 代入①得：2?2RsinA?2RsinBcosC=2017?4R2sin2C，即2sinAsinBcosC=2017sin2C=2017（1﹣cos2C）， 则=2017． 故答案为：2017． 【点评】此题考查了余弦定理，正弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键． 17. 已知直线与圆C：交于两点A，B，且△CAB为等边三角形，则圆C的面积为          ． 参考答案： 6π 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数f（x）=﹣ax． （1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值； （2）若存在x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用． 【分析】（1）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′（x）=﹣a+在（1，+∞）上恒成立，由此利用导数性质能求出a的最大值； （2）命题“若存在x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）， ∵f（x）在（1，+∞）上为减函数， ∴f′（x）=﹣a+≤0在（1，+∞）上恒成立， ﹣a≤﹣=（﹣）2﹣， 令g（x）=（﹣）2﹣， 故当=，即x=e2时， g（x）的最小值为﹣，∴﹣a≤﹣，即a≥ ∴a的最小值为． （Ⅱ）命题“若存在x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”， 等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”， 由（Ⅰ）知，当x∈时，lnx∈，∈， f′（x）=﹣a+=﹣（﹣）2+﹣a， f′（x）max+a=， 问题等价于：“当x∈时，有f（x）min≤”， ①当﹣a≤﹣，即a时，由（Ⅰ），f（x）在上为减函数， 则f（x）min=f（e2）=﹣ae2+≤， ∴﹣a≤﹣， ∴a≥﹣． ②当﹣＜﹣a＜0，即0＜a＜时，∵x∈，∴lnx∈， ∵f′（x）=﹣a+，由复合函数的单调性知f′（x）在上为增函数， ∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）=0且满足： f（x）min=f（x0）=﹣ax0+， 要使f（x）min≤，∴﹣a≤﹣＜﹣=﹣， 与﹣＜﹣a＜0矛盾， ∴﹣＜﹣a＜0不合题意． 综上，实数a的取值范围为 19. 设关于的方程有两个实根，函数. （Ⅰ）求证：不论m取何值，总有； （Ⅱ）判断在区间的单调性，并加以证明； （Ⅲ）若均为正实数，证明：. 参考答案： 解: (Ⅰ)∵是方程的两个根，   ∴， ∴ ， ∴……………………………………………………… （4分）   （Ⅱ）∵， 当时，，∴在上单调递增．（此处用定义证明亦可）…（8分）   （Ⅲ）∵，同理可证：    ∴由（Ⅱ）可知：，，                   ∴，   ……………………………（12分） 由（Ⅰ）可知，，，， ∴， ∴．……………………………………（14分）   略 20. 已知函数f（x）=|x+1|． （1）求不等式f（x）+1＜f（2x）的解集M； （2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）． 参考答案： 【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法． 【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求． （2）由题意可得|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，化简f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]为|a+1|?（|b|﹣1|）＞0，从而证得不等式成立． 【解答】（1）解：不等式f（x）+1＜f（2x）即|x+1|＜|2x+1|﹣1， ∴①，或②，或③． 解①求得x＜﹣1；解②求得x∈?；解③求得x＞1． 故要求的不等式的解集M={x|x＜﹣1或 x＞1}． （2）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0， 则 f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|． ∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1| =|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1| =|b|?|a+1|﹣|a+1|=|a+1|?（|b|﹣1|）＞0， 故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立． 21. (12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出： (x≥1)．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分配应是多少？共能获得多大利润？ 参考答案： 当t＝时，可获最大利润万元．此时，投入乙种商品的资金为万元， 甲种商品的资金为万元． 22. 已知曲线与，直线与都相切，求直线的方程． 参考答案： 解析：设与相切于点与相切于． 对于，则与相切于点的切线方程为，即， 对于，则与相切于点的切线方程为， 即． 两切线重合， ，且． 解得或． 直线方程为或．