浙江省绍兴市元培中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，
。）
A. 4.56% B. 13.59% C. 27.18% D. 31.74%
参考答案：
B
试题分析：由题意故选B．
考点：正态分布
2. 已知双曲线的一个焦点坐标是（5，0），则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的一个焦点坐标是（5，0），求出m的值，从而可求双曲线的渐近线方程．
【解答】解：由题意，双曲线的焦点在x轴，且，
∵一个焦点是（5，0），
∴
∴双曲线的渐近线方程为．
故选：B．
3. 设P为双曲线x2﹣=1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点．若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为（ ）
A． B．12 C． D．24
参考答案：
B
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线定义得|PF1|﹣|PF2|=2a=2，所以，再由△PF1F2为直角三角形，可以推导出其面积．
【解答】解：因为|PF1|：|PF2|=3：2，设|PF1|=3x，|PF2|=2x，
根据双曲线定义得|PF1|﹣|PF2|=3x﹣2x=x=2a=2，
所以，，
△PF1F2为直角三角形，其面积为，
故选B．
【点评】本题考查双曲线性质的灵活运用，解题时要注意审题．
4. 方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( )
A．a<－2或 a> B．－
0，b>0），与x轴，直线y=h（h>0）及渐近线y=x所围成的阴影部分（如下图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积 ▲ ．
参考答案：
a2hπ；
13. 定义一种运算“*”，它对于整数n满足以下运算性质：
（1）2*1001=1； （2）（2n+2）*1001=3·[（2n）*1001]，则2008*1001的值是 .
参考答案：
14. 函数的单调递减区间是_________
参考答案：
或
【分析】
求出导函数，然后在定义域内解不等式得减区间．
【详解】，由，又得．
∴减区间为，答也对．
故答案为或．
【点睛】本题考查导数与函数的单调性，一般由确定增区间，由确定减区间．
15. 已知数列的通项公式为，前n项和为。若对于任意正整数n，不等式恒成立，则常数m所能取得的最大整数为__________.
参考答案：
5
16. 复数满足：(为虚数单位) ，则复数的共轭复数= .
参考答案：
17. 在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是 ．
参考答案：
（e+e﹣1）
【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先设切点坐标为（m，em），然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点M的纵坐标，同理可求出点N的纵坐标，将t用m表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可．
【解答】解：设切点坐标为（m，em）．
∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣em=em（x﹣m）．
令x=0，解得y=（1﹣m）em．
过点P作l的垂线的切线方程为y﹣em=﹣e﹣m（x﹣m）．
令x=0，解得y=em+me﹣m．
∴线段MN的中点的纵坐标为t= [（2﹣m）em+me﹣m]．
t'= [﹣em+（2﹣m）em+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1．
当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0．
∴当m=1时t取最大值（e+e﹣1）．
故答案为：（e+e﹣1）．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)
已知，解关于的不等式.
参考答案：
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
19. 已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）经过点（1，e），其中e是椭圆C1的离心率，以原点O为圆心，以椭圆C1的长轴长为直径的圆C2与直线x﹣y+2=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C1和圆C2的方程；
（Ⅱ）过椭圆C1的右焦点F的直线l1与椭圆C1交于点A，B，过F且与直线l1垂直的直线l2与圆C2交于点C，D，以A，B，C，D为顶点的四边形的面积记为S，求S的取值范围．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）由椭圆经过点（1，e），以原点O为圆心，以椭圆C1的长轴长为直径的圆C2与直线x﹣y+2=0相切，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程和圆C2的方程．
（Ⅱ）若直线AB的斜率不存在，由l1⊥l2，得S=2；若直线AB的斜率为0，由l1⊥l2，得|AB|=2，|CD|=2，S=；若直线AB的斜率存在且不为0，设l1的方程为y=k（x﹣1），联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由此利用韦达定理、根的差别式、弦长公式、函数的单调性，结合已知条件能求出S的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C1： +=1（a＞b＞0）经过点（1，e），
以原点O为圆心，以椭圆C1的长轴长为直径的圆C2与直线x﹣y+2=0相切，
∴由已知得，解得a=，b=1．
所以椭圆C1的方程为，圆C2的方程为x2+y2=2．
（Ⅱ）若直线AB的斜率不存在，由l1⊥l2，得|AB|==，|CD|=2，
此时S=．
若直线AB的斜率为0，由l1⊥l2，得|AB|=2，|CD|=2=2，
此时S=．
若直线AB的斜率存在且不为0，设l1的方程为y=k（x﹣1）．
设A（x1，x2），B（x2，y2），则，
消y，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
所以，，
△=16k4﹣4（1+2k2）（2k2﹣2）=8k2+8＞0．
|AB|==
==．
又l2的方程为y=﹣（x﹣1），即x+ky﹣1=0，
得|CD|=2=2．
所以S=|AB|×|CD|==2．
因为k2＞0，关于k2是单调递减函数，
∈（2，2）．
综上得，S的取值范围是[2，2]．
20. 如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6.
（1）求AB的长． （2）求的面积.
参考答案：
在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得
∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.
在△ABD中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°，
由正弦定理得
（2）
21. 已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.
(I)求椭圆的方程.
(II)设O为坐标原点,点A.B分别在椭圆C1和C2上,,求直线AB的方程.
参考答案：
解:(1)椭圆的长轴长为4,离心率为
∵椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率
∴椭圆C2的焦点在y轴上,2b=4,为
∴b=2,a=4
∴椭圆C2的方程为;
(2)设A,B的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),
∵
∴O,A,B三点共线,且点A,B不在y轴上
∴设AB的方程为y=kx
将y=kx代入,消元可得(1+4k2)x2=4,∴
将y=kx代入,消元可得(4+k2)x2=16,∴
∵,∴=4,
∴,解得k=±1,
∴AB的方程为y=±x
【解析】
22.【答案】解:(I),,
又
(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)
22. 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告之在甲船的南偏西30°,相距10海里C处的乙船.
（1）求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；
（2）设乙船沿直线CB方向前往B处救援，求∠ACB的正弦值.
参考答案：
（1）海里（2）
本题第（1）问，由余弦定理直接求出BC；
第（2）问，由正弦定理求出sinC
解：（１）在中，
即相距 海里
（２） 由 得
考点：解三角形的实际应用；余弦定理；正弦定理
点评：本题主要考查了解三角形中的实际运用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．
