上海复旦实验中学2022-2023学年高二数学理联考试卷含解析

上海复旦实验中学2022-2023学年高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（      ） A．             B．            C．            D． 参考答案： C 2. 若A，B，C，则△ABC的形状是（    ） A．锐角三角形                 B．直角三角形  C．钝角三角形                 D．等腰三角形 参考答案： C 3. 若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的(　　) A．逆否命题　　　B．逆命题      C．否命题        D．原命题 参考答案： A 略 4. .已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,3,5}，集合B={1,3,4,6}，则集合（ ） A. {3} B. {2,5} C.{1,4,6} D. {2,3,5} 参考答案： B ,,则,故选B. 考点：本题主要考查集合的交集与补集运算. 5. 双曲线的实轴长和虚轴长分别是(     ) A．，4          B．4，        C．3，4           D．2， 参考答案： A 6. 直线与的位置关系是 A．平行　　          B．垂直　         C．相交不垂直　　 D．与有关，不确定 参考答案： Ｂ 7. 公比不为等比数列的前项和为，且成等差数列．若，则=（    ） A.          B.         C.          D. 参考答案： A 8. 把曲线：（为参数）上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到的曲线为（   ） A. B. C.   D. 参考答案： B 略 9. 已知全集，集合A=，集合B=则右图中的阴影部分表示  (   ) A.     B.      C.       D. 参考答案： C 略 10. 用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n＋3）＝(n∈N*)，验证当n＝1时，左端应取的项是  （   ） A.1         B.1+2            C.1+2+3          D.1+2+3+4 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是          . 参考答案： 略 12. 如图，正方体的棱长为3，则点到平面的距离为       ． 参考答案：    13. 经过点P（1,2）的直线，且使A（2,3），B（0，－5）到它的距离相等的直线方程为________． 参考答案： 4x－y－2＝0或x＝1 14. 对于三次函数的导数，的导数，若方程有实数解为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题：函数的对称中心为    . 参考答案： 15. 已知集合，，则集合M∩P=       ． 参考答案： 略 16. 函数的定义域是                参考答案： 17. 由:①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形,写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的依次为    ▲    ．（写序号） 参考答案： ②③①；  三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设命题p：（x﹣2）2≤1，命题q：x2+（2a+1）x+a（a+1）≥0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】命题p：（x﹣2）2≤1，可得解集A=[1，3]．命题q：x2+（2a+1）x+a（a+1）≥0，可得B=（﹣∞，﹣a﹣1]∪[﹣a，+∞）．根据p是q的充分不必要条件，即可得出． 【解答】解：命题p：（x﹣2）2≤1，解得1≤x≤3，记A=[1，3]． 命题q：x2+（2a+1）x+a（a+1）≥0，解得x≤﹣a﹣1，或x≥﹣a．记B=（﹣∞，﹣a﹣1]∪[﹣a，+∞）． ∵p是q的充分不必要条件，∴3≤﹣a﹣1，或﹣a≤1，∴a≤﹣4，或a≥﹣1． ∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[﹣1，+∞）． 　 19. 某研究机构对高中学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到下表数据. x 6 8 10 12 y 2 3 5 6   (1)请根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=b+a. (2)试根据(1)求出的线性回归方程，预测记忆力为11的同学的判断力.   () 参考答案： (1) =9，=4，=158, =344   ∴b===0.7，∴a=4－0.7×9=－2.3   ∴y=0.7x－2.3   (2)由(1)知，当x=11时，y=0.7×11－2.3=5.4 20. 如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中AB=2AD，，E为DC的中点，将它沿AE折成直二面角D﹣AE﹣B． （1）求证：AD⊥平面BDE； （2）求二面角B﹣AD﹣E的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 【分析】方法一：（1）由题设可知 AD⊥DE，取AE的中点O，连结OD，BE．证明BE⊥AD即可得到AD⊥平面BDE． （2）由（1）知AD⊥平面BDE．AD⊥DB，AD⊥DE，故∠BDE就是二面角B﹣AD﹣E的平面角 在Rt△BDE中，求二面角B﹣AD﹣E的余弦值为． 方法二（1）取AE的中点O，连结OD，BE，取AB的中点为F，连结OF，以O为原点，OA，OF，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 利用向量求解． 【解答】方法一：解：（1）证明：由题设可知 AD⊥DE，取AE的中点O，连结OD，BE． ∵∴OD⊥AE．﹣﹣﹣﹣1  分 又∵二面角D﹣AE﹣B为直二面角．∴OD⊥平面ABCE∴OD⊥BE﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 又∵AE=BE=2∴AB2=AE2+BE2∴AE⊥BE 又∵OD∩AE=O∴BE⊥平面ADE∴BE⊥AD﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 又∵BE∩DE=E∴AD⊥平面BDE﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）由（1）知AD⊥平面BDE∴AD⊥DBAD⊥DE∴∠BDE就是二面角B﹣AD﹣E的平面角﹣﹣ 又∵BE⊥平面ADE∴BE⊥DE 在Rt△BDE中，﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴，∴二面角B﹣AD﹣E的余弦值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣   方法二（1）证明：由题设可知 AD⊥DE，取AE的中点O，连结OD，BE．∵∴OD⊥AE．﹣﹣﹣﹣ 又∵二面角D﹣AE﹣B为直二面角，∴OD⊥平面ABCE﹣﹣﹣﹣﹣ 又∵AE=BE=2∴AB2=AE2+BE2∴AE⊥BE 取AB的中点为F，连结OF，则OF∥EB∴OF⊥AE﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 以O为原点，OA，OF，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图） 则A（1，0，0），D（0，0，1），B（﹣1，2，0），E（﹣1，0，0）， 于是，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 设是平面BDE的法向量，则即 令x=1，则z=﹣1，于是，∴，∴，∴AD⊥平面BDE．﹣﹣﹣ （2）设是平面ABD的法向量，则即 令x=1，则y=1，z=1，于是又平面ADE的法向量﹣﹣﹣﹣﹣ ∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 21. 已知两点A（-3，4），B（3，2），过点P（2，-1）的直线与线段AB有公共点，求直线的斜率的取值范围. 参考答案： 解析：如图，∵直线与线段AB有公共点且过点P（2，-1）         ∴直线的倾斜角介于直线PB与直线PA的倾斜角之间 ……2分          当直线的倾斜角小于90°时，有  ……4分         当直线的倾斜角大于90°时，有  ……6分         而  ……10分         ∴直线的斜率的取值范围是 ……12分   22. 已知函数 （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合； （3）求函数f（x）的单调递增区间． 参考答案： 【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域． 【专题】计算题． 【分析】（1）先运用三角函数的两角和与差的正弦公式及二倍角公式将函数化简为y=Asin（wx+ρ）+b的形式，根据T=可求出最小正周期； （2）因为f（x）取最大值时应该有sin（2x﹣）=1成立，即2x﹣=2kπ+，k∈Z，可得答案． （3）将2x﹣看做一个整体，根据正弦函数的性质可得，进而求出x的范围，得到答案． 【解答】解：（1）∵ ∴f（x）= = =． ∵，即函数f（x）的最小正周期为π． （2）当（5分） 即时，f（x）取最大值1（7分） 因此f（x）取最大值时x的集合是（8分） （3）f（x）=． 再由， 解得． 所以y=f（x）的单调增区间为．（12分） 【点评】本题主要考查三角函数最小正周期的求法、正弦函数的定义域和值域和单调区间的求法，一般都是将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再根据三角函数的图象和性质解题．