资源描述
黑龙江省哈尔滨市旭东中学高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知复数z满足,则z = ( )
A . B . C . D .
参考答案:
A
略
2. 在中,,则
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
3. 球的表面积扩大到原来的2倍,则球的半径扩大到原来的 倍,球的体积扩大到原来的 倍.
A., B., C., D.,
参考答案:
A
略
4. 是集合A到集合B的一个函数,其中,则为单调递增函数的概率是( )
A B C D
参考答案:
D
略
5. 已知函数y=f(x)的导函数为f′(x),且,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
考点:导数的运算.
专题:导数的概念及应用.
分析:先根据导数的运算法则求导,再代入值计算即可.
解答: 解:∵,
∴f′(x)=2f′()x+cosx,
∴f′()=2f′()×+cos,
解得f′()=,
故选:A
点评:本题考查了导数的运算法则和导数值的求法,属于基础题.
6. (2015?威海模拟)周期为4的奇函数f(x)在[0,2]上的解析式为f(x)=,则f(2014)+f(2015)=( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
参考答案:
B
考点: 函数的值.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 利用函数的周期性,以及函数的奇偶性,直接求解即可.
解答: 解:函数是周期为4的奇函数,f(x)在[0,2]上的解析式为f(x)=,
所以f(2014)+f(2015)=f(2012+2)+f(2016﹣1)
=f(2)+f(﹣1)=f(2)﹣f(1)=log22+1﹣12=1.
故选:B.
点评: 本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性,函数值的求法,考查计算能力.
7. 已知是所在平面内一点,为边中点,且,那么
A. B. C. D.
参考答案:
A
8. 已知向量,,若,则 ( )
A. 1 B. C. D.-1
参考答案:
D
9. 设m、n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,,则 ②若,,,则
③若,,则 ④若,,则
其中正确命题的序号是 ( )
(A)①和② (B)②和③ (C)③和④ (D)①和④
参考答案:
A
略
10. 已知等比数列的前项和,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设是函数的一个零点,则函数在区间内所有极值点之和为 .
参考答案:
12. 在数列{an}中,已知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(n∈N+)的个位数,则a2015= .
参考答案:
2
考点:数列递推式.
专题:点列、递归数列与数学归纳法.
分析:通过计算前几项,可得从第三项起an的值成周期数列,其周期为6,进而可得结论.
解答: 解:∵a1a2=2×7=14,∴a3=4,
∵7×4=28,∴a4=8,
∵4×8=32,∴a5=2,
∵8×2=16,∴a6=6,
∴a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,a11=2,
∴从第三项起an的值成周期数列,其周期为6,
又∵2015=335×6+5,
∴a2015=a5=2,
故答案为:2.
点评:本题考查数列的递推公式,找出周期是解决本题的关键,属于中档题.
13. 不等式的解集为 .
参考答案:
(-1,2)
14. 设,其中,表示k与n的最大公约数,则的值为=__ .
参考答案:
520;
15. 设为虚数单位,集合A={1,﹣1,i,﹣i},集合,则A∩B= .
参考答案:
{﹣1,i}
考点:
虚数单位i及其性质;交集及其运算.
专题:
计算题.
分析:
利用复数的运算法则化简集合B,再利用交集即可得到A∩B.
解答:
解:对于集合B:由i10=i2=﹣1,1﹣i4=1﹣1=0,(1+i)(1﹣i)=1+1=2,=.
∴B={﹣1,0,2,i}.
∴A∩B={﹣1,i}.
故答案为{﹣1,i}.
点评:
熟练掌握复数的运算法则和交集的运算性质是解题的关键.
16. 设关于x的方程x2﹣ax﹣1=0和x2﹣x﹣2a=0的实根分别为x1,x2和x3,x4,若x1<x3<x2<x4,则实数a的取值范围为 .
参考答案:
()
考点:根与系数的关系.
专题:函数的性质及应用.
分析:由x2﹣ax﹣1=0得ax=x2﹣1,由x2﹣x﹣2a=0得2a=x2﹣x,在同一坐标系中作出两个函数得图象,继而得出关系式求解即可.
解答: 解:由x2﹣ax﹣1=0得ax=x2﹣1,①
由x2﹣x﹣2a=0得2a=x2﹣x,②
由①可得2a=2x﹣,
作出函数y=x2﹣x和y=2x﹣的函数图象如下图:
∵x1<x3<x2<x4
∴x2﹣x=2x﹣
整理得:,即,即
解得:x=1或x=
当x=1﹣时,a=
∴
点评:本题主要考查函数中零点与系数的关系,在考试中经常作为选择填空出现,属于中档题.
17. 求曲线y=,y=x2所围成图形的面积 .
参考答案:
【考点】定积分.
【分析】先由解的x的值,再利用定积分即可求得面积.
【解答】解:由,解得x=0,1.
∴曲线所围成图形的面积===.
故答案是.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
(1)若为的极值点,求实数的值;
(2)若在上为增函数,求实数的取值范围;
(3)当时,方程有实根,求实数的最大值.
参考答案:
(1).(2)的取值范围为.(3)当时,有最大值0
(1)根据建立关于a的方程求出a的值.
(2)本小题实质是在区间上恒成立,
进一步转化为在区间上恒成立,
然后再讨论a=0和两种情况研究.
(2) 时,方程可化为,,
问题转化为在上有解,
即求函数的值域,然后再利用导数研究g(x)的单调区间极值最值,从而求出值域,问题得解.
解:(1).………1分
因为为的极值点,所以.………………………2分
即,解得.…………………………………3分
又当时,,从而的极值点成立.…………4分
(2)因为在区间上为增函数,
所以在区间上恒成立.…5分
①当时,在上恒成立,所以上为增函数,故
符合题意.…………………………6分
②当时,由函数的定义域可知,必须有对恒成立,故只能,
所以上恒成立.……………7分
令,其对称轴为,……………8分
因为所以,从而上恒成立,只要即可,
因为,
解得. u……………………………………9分
因为,所以.
综上所述,的取值范围为.…………………………………10分
(3)若时,方程可化为,.
问题转化为在上有解,
即求函数的值域.……………………11分
以下给出两种求函数值域的方法:
方法1:因为,令,
则 ,…………………………………12分
所以当,从而上为增函数,
当,从而上为减函数,………………………13分
因此.
而,故,
因此当时,取得最大值0.…………………………………………14分
方法2:因为,所以.
设,则.
当时,,所以在上单调递增;
当时,,所以在上单调递减;
因为,故必有,又,
因此必存在实数使得,
,所以上单调递减;
当,所以上单调递增;
当上单调递减;
又因为,
当,则,又.
因此当时,取得最大值0.……………………………14分
19.
(14分)已知椭圆过定点A(1,0),焦点在x轴上,且离心率e满足.
(I)求的取值范围;
(II)若椭圆与的交于点B,求点B的横坐标的取值范围;
(Ⅲ)在条件(II)下,现有以A为焦点,过点B且开口向左的抛物线,抛物线的顶点坐标为M(m,0),求实数m的取值范围.
参考答案:
解析:(I)由于椭圆过定点A(1,0),于是a=1,c=.
∵ ,∴.
(Ⅱ)解方程组,得.
∵,∴.
(Ⅲ)设抛物线方程为:.
又∵,∴.
又,得.
令.
∵内有根且单调递增,
∴
∴
故.
20. 已知函数f(x)=|a﹣3x|﹣|2+x|.
(1)若a=2,解不等式f(x)≤3;
(2)若存在实数x,使得不等式f(x)≥1﹣a+2|2+x|成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】R5:绝对值不等式的解法.
【分析】(1)通过讨论x的范围,得到关于x的不等式组,解出取并集即可;
(2)由题意知这是一个存在性的问题,须求出不等式左边的最大值,可运用绝对值不等式的性质可得最大值,再令其大于等于a,即可解出实数a的取值范围.
【解答】解:(1)a=2时:f(x)=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3,
或或,
解得:﹣≤x≤;
(2)不等式f(x)≥1﹣a+2|2+x|成立,
即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a,
由绝对值不等式的性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|(3x﹣a)﹣(3x+6)|=|a+6|,
即有f(x)的最大值为|a+6|,
∴或,
解得:a≥﹣.
【点评】本题考查绝对值不等式,求解本题的关键是正确理解题意,区分存在问题与恒成立问题的区别,本题是一个存在问题,解决的是有的问题,本题是一个易错题,主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解,因思维错误导致错误.
21. (16分)设m个不全相等的正数a1,a2,…,am(m≥3)依次围成一个圆圈.
(1)设m=2015,且a1,a2,a3,…,a1008是公差为d的等差数列,而a1,a2015,a2014,…,a1009是公比为q=d的等比数列;数列a1,a2,…,am的前n项和Sn(n≤m)满足S3=15,S2015=S2013+12a1,求数列{an}的通项公式;
(2)设a1=a,a2=b(a≠b),若数列a1,a2,…,am每项是其左右相邻两数平方的等比中项,求a8;
(3)在(2)的条件下,m≤2015,求符合条件的m的个数.
参考答案:
考点:等比数列的性质.
专题:综合题;等差数列与等比数列.
分析:(1)利用a1,a2015,a2014,…,a1009是公比为d的等比数列,求出d,S3=3a1+3d=15,解得a1=2,可得数列{an}的通项公式;
(2)确定an=an﹣1an+1,依此类推a8=a2=b;
(3)猜想:m=6k,m=12,18,…,2012,一共有335,再利用反证法进行证明即可.
解答: 解:(1)因a1,a2015,a2014,…,a1009是公比为d的等比数列,
从而
由S2015=S2013+12a1,a2015+a2014=12a1,
故解得d=3或d=﹣4(舍去)
因此d=3,
展开阅读全文
温馨提示:
金锄头文库所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
相关搜索