2022-2023学年广东省东莞市桥头镇桥头中学高二数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年广东省东莞市桥头镇桥头中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列结论正确的是            A.当且时，   B.当时， C.当时，的最小值为2     D.当时，无最大值 参考答案： B 略 2. 设是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ）     A．（－1，0）∪（1，+）            B．（－1，0）∪（0，1）   C．（－，－1）∪（1，+）     D．（－，－1）∪（0，1） 参考答案： A 略 3. 数列{}定义如下：=1，当时，，若，则的值等于 A. 7      B. 8        C. 9       D. 10 参考答案： D 略 4. 已知等比数列的公比，其前项和，则等于 ． ． ． ． 参考答案： ． ；故选． 5. 若不等式（x﹣a）?（x+a）=（1﹣x+a）（1+x+a）=（1+a）2﹣x2＜1对任意实数x成立，则（　　） A．﹣1＜a＜1 B．﹣2＜a＜0 C．0＜a＜2 D．﹣＜α＜ 参考答案： B 【考点】函数恒成立问题． 【分析】由已知得（1+a）2＜1+x2对任意实数x成立，从而得到（1+a）2＜1，由此能求出结果． 【解答】解：∵不等式（x﹣a）?（x+a）=（1﹣x+a）（1+x+a）=（1+a）2﹣x2＜1对任意实数x成立， ∴（1+a）2＜1+x2对任意实数x成立， ∴（1+a）2＜1， ∴﹣2＜a＜0． 故选：B． 6. 如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是(     ) A．点H是△A1BD的垂心 B．AH垂直平面CB1D1 C．AH的延长线经过点C1 D．直线AH和BB1所成角为45° 参考答案： D 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】如上图，正方体的体对角线AC1有以下性质： ①AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1；②AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；③AC1=AB等． （注：对正方体要视为一种基本图形来看待．） 【解答】解：因为三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确； 易证面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确； 连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1⊥平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确； 故选D． 【点评】本题主要考查正方体体对角线的性质． 7. 若直线与平行，则的值为(     ) A．             B．或         C．          D． 参考答案： A 8. 等差数列和的前项和分别为和，且，则=（    ） A．            B．             C．               D． 参考答案： D 9. 已知P是椭圆上的动点，则P点到直线的距离的最小值为（  ） A. B. C. D. 参考答案： A 试题分析：设，由点到直线距离公式有 ，最小值为. 考点：直线与圆锥曲线位置关系． 10. 由点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，A、B是切点，则?的最小值是（　　） A．6﹣4 B．3﹣2 C．2﹣3 D．4﹣6 参考答案： C 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用． 【分析】先画出图形，可设圆心为O，OP=x，从而可以得出，，根据二倍角的余弦公式便可得到，从而可求出，这样根据基本不等式即可求出的最小值． 【解答】解：如图， 设圆心为O，OP=x，则：PA2=x2﹣1，； ∴； ∴==； 当且仅当，即时取“=”； ∴的最小值为． 故选：C． 【点评】考查直角三角形边的关系，正弦函数的定义，二倍角的余弦公式，清楚圆心和切点的连线与切线的关系，向量数量积的计算公式，以及利用基本不等式求最小值的方法． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一船在海面 A 处望见两灯塔 P ， Q 在北偏西15°的一条直线上，该船沿东北方向航行4海里到达 B 处，望见灯塔 P 在正西方向，灯塔 Q 在西北方向，则两灯塔的距离为__________． 参考答案： 海里 如图， 在△ ABP 中， AB ＝4，∠ BAP ＝60°，∠ ABP ＝45°， ∴∠ APB ＝75°.由正弦定理得 ． 又在△ ABQ 中，∠ ABQ ＝45°+45°＝90°，∠ PAB ＝60°，∴ AQ ＝2 AB ＝8，于是 PQ ＝ AQ － AP ＝ ， ∴两灯塔间距离为 海里． 12. 命题“若，则”的否命题为_____________. 参考答案： 若，则 略 13. 某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分，打错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响），设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望 为        . 参考答案： 14. 求函数 的单调递减区间为_____________ 参考答案： (1,+∞) 15. 函数在处的切线方程是                        参考答案： 略 16. 对于函数f(x)定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)， ①f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)； ③>0；④f<. 当f(x)＝2x时，上述结论中正确结论的序号是______． 参考答案： ①③④ 略 17. 设复数z满足（i为虚数单位），则z的模为________． 参考答案： 1. 【分析】 根据复数的运算可得，再利用模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数满足，则， 则的模为. 【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：（50，60），（60，70），（70，80），（80，90），（90，100）． （1）图中语文成绩的众数是　　． （2）求图中a的值； （3）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分和中位数（中位数要求精确到小数点后一位）． 参考答案： (1)65(2) 0.005．（3）71.7分． 【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数． 【分析】（1）利用众数的意义即可得出； （2）根据频率分布直方图中各小矩形面积之和等于1即可得出； （3）根据平均数和中位数的意义即可得出． 【解答】解：（1）众数是65．  （2）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005． （3）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）． 设中位数为70+x分，则由0.005×10+0.04×10+0.03x=0.5 解得， ∴这100名学生语文成绩的中位数约为71.7分． 【点评】熟练掌握利用频率分布直方图求众数、平均数、中位数及知道频率分布直方图中各小矩形面积之和等于1等性质是解题的关键． 19. 设关于x的方程的两根为，函数． （1）求的值； （2）证明是上的增函数； （3）当为何值时，在区间上的最大值与最小值之差最小？ 参考答案： 解析：（1）    （2）设，则当时， ∴函数在上是增函数．    （3）函数在上最大值，最小值， ∴当且仅当时，取最小值4， 此时  略 20. （1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真． （2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明） 参考答案： 【考点】向量语言表述线面的垂直、平行关系；四种命题；向量语言表述线线的垂直、平行关系． 【分析】（1）证法一：做出辅助线，在直线上构造对应的方向向量，要证两条直线垂直，只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0，根据向量的运算法则得到结果． 证法二：做出辅助线，根据线面垂直的性质，得到线线垂直，根据线面垂直的判定定理，得到线面垂直，再根据性质得到结论． （2）把所给的命题的题设和结论交换位置，得到原命题的逆命题，判断出你命题的正确性． 【解答】证明：（1）证法一：如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b，c，n对应的方向向量分别是，则共面， 根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得， 则= 因为a⊥b，所以， 又因为a?α，n⊥α， 所以， 故，从而a⊥c 证法二 如图，记c∩b=A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P做PO⊥π，垂足为O，则O∈c， ∵PO⊥π，a?π， ∴直线PO⊥a， 又a⊥b，b?平面PAO，PO∩b=P， ∴a⊥平面PAO， 又c?平面PAO， ∴a⊥c （2）逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b， 逆命题为真命题 21. 设点A为半径是1的圆O上一定点，在圆周上等可能地任取一点B． （1）求弦AB的长超过圆内接正三角形边长的概率； （2）求弦AB的长超过圆半径的概率． 参考答案： 解：（1）设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M， 以点A为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD，如右图所示， 则要满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD恰好 将圆周3等分，故．  ……6分 答：弦AB的长超过圆内接正三角形边长的概率为． （2）设“弦AB的长超过圆的半径”为事件N， 以圆的半径OA为边长作出两正三角形AOC和AOD，如图所示， 则AC=AD=圆的半径OA，所以满足题意的点B只能落在优弧CD上， 又，故劣弧CD的长为，即优弧CD的长为 所以． 答：弦AB的长超过圆的半径的概率是．  ……12分 22. （本小题8分）实数m取什么值时，复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)是 （1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z的点在第三象限？ 参考答案： 解： ⑴ 复数z为实数，则，解得或;   …………2分 (2)复数z为虚数，则，解得且;    …………4分 (3)复数z为纯虚数，则解得                                                    ……………6分 (4)复数z 对应点在第三象限，则 解得                                    ……………8分 略