贵州省遵义市仙台中学高三数学理月考试题含解析

贵州省遵义市仙台中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 为了测量某塔的高度，在一幢与塔相距的楼顶处测得塔底的俯角为，测得塔顶的仰角为，那么塔的高度是 （单位：） A.        B.        C.            D. 参考答案： C 2. 的展开式中，常数项为15，则n的值可以为(    )    A．3               B．4                                C．5  D．6 参考答案： D 3. 有两排座位，前排4个座位，后排5个座位，现安排2人就坐，并且这2人不相邻（一前一后也视为不相邻），那么不同坐法的种数是(   ) A．18           B．26                 C．29             D．58 参考答案： 答案：D 4. 已知等差数列中，，记，则的值为（　） A. 130              B. 260              C. 156              D. 168 参考答案： A 5. 集合,则的子集共有(    ) A.6个          B.8个           C.10个          D.12个 参考答案： B ，所以P的子集共有8个 6. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则?（+）的最小值是（　　） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 参考答案： B 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点， 则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0）， 设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y）， 则?（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣] ∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣， 故选：B 【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键． 7. 某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填(     ) A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？ 参考答案： A 考点：程序框图． 专题：算法和程序框图． 分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=5时，根据题意此时满足条件，退出循环，输出S的值为57，从而即可判断． 解答： 解：执行程序框图，可得 k=2，S=4； k=3，S=11； k=4，S=26； k=5，S=57； 根据题意此时，满足条件，退出循环，输出S的值为57． 故判断框内应填k＞4． 故选：A． 点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确得到退出循环时k，S的值是解题的关键，属于基础题． 8. 设向量，，若向量与同向，则（   ） A．2                B．-2              C．±2               D．0 参考答案： A 9. 已知△ABC的三边长分别为a-2，a，a+2，且它的最大角的正弦值为，则这个三角形的面积是(    )  A.            B.            C.             D. 参考答案： B 10. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（    ） A.34          B.55         C.78           D.89               参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直线与圆相交所截的弦长为__________ 参考答案： 12. 已知函数满足，当时，在区间上，函数恰有一个零点，则实数的取值范围是__________. 参考答案： 【知识点】函数零点的判定定理．B9    解析：当时，， 则.在坐标系内画出分段函数图象： 由题意可知：.当直线与曲线相切时， 解得；所以的取值范围是.故答案为： 【思路点拨】根据题意画出图形，结合.当直线与曲线相切时，可解得；进而求出的取值范围。 13. 工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺丝，第一阶段，首先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上（距离它最远的，下同）螺丝，再随意拧第三个螺丝，第四个也拧它对角线上螺丝，第五个和第六个以此类推，但每个螺丝都不要拧死;第二阶段，将每个螺丝拧死，但不能连续拧相邻的2个螺丝。则不同的固定方式有________．   参考答案： 2880 14. 设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为　　． 参考答案： [0，2] 考点： 分段函数的应用． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 由分段函数可得当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x+a，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a，解不等式a2≤2+a，即可得到a的取值范围． 解答： 解：由于f（x）=， 则当x=0时，f（0）=a2， 由于f（0）是f（x）的最小值， 则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0， 则有a2≤x+a，x＞0恒成立， 由x≥2=2，当且仅当x=1取最小值2， 则a2≤2+a，解得﹣1≤a≤2． 综上，a的取值范围为[0，2]． 故答案为：[0，2]． 点评： 本题考察了分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题，也是易错题． 15. 从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是  ▲   . 参考答案： 16. 数列的前n项和则=              ． 参考答案： 17. （6分）（2015?浙江模拟）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期为　　，单调增区间为　　，=　　． 参考答案： 2π, [2kπ﹣，2kπ+],. 【考点】： 正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法． 【专题】： 三角函数的图像与性质． 【分析】： 利用辅助角公式将三角函数进行化简即可得到结论． 解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+）， 则函数的周期T==2π， 由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z， 解得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z， 故函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]， f（）=sin（+）=sin==， 故答案为：2π，[2kπ﹣，2kπ+]，． 【点评】： 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 已知中，、、是三个内角、、的对边，关于的不等式 的解集是空集． （1）求角的最大值；     （2）若，的面积，求当角取最大值时的值． 参考答案： （1）显然 不合题意，则有，---------------------2分 即， 即， 故，----------4分 ∴角的最大值为。-----------------------6分 （2）当=时，，∴-----------8分 由余弦定理得， ∴，∴-------------------------12分 19. 如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DA=DC．已知B=，BC=1． （Ⅰ）若DC=，求角A的大小； （Ⅱ）若△BCD面积为，求边AB的长． 参考答案： 考点：正弦定理；解三角形． 专题：解三角形． 分析：（1）在△BCD中，由正弦定理得到：，计算得到∠BDC，又由DA=DC，即可得到∠A； （2）由于△BCD面积为，得到，得到BD， 再由余弦定理得到，再由DA=DC，即可得到边AB的长． 解答： 解：（1）在△BCD中，B=，BC=1，DC=， 由正弦定理得到：， 解得， 则∠BDC=60°或120°． 又由DA=DC，则∠A=30°或60°． （2）由于B=，BC=1，△BCD面积为， 则，解得． 再由余弦定理得到 =， 故， 又由AB=AD+BD=CD+BD=， 故边AB的长为：． 点评：考查了正弦定理和余弦定理结合去解三角形，属于基础题． 20. 已知椭圆C1：（a＞b＞0）的焦距为4，左、右焦点分别为F1、F2，且C1与抛物线C2：y2=x的交点所在的直线经过F2． （Ⅰ）求椭圆C1的方程； （Ⅱ）过F1的直线l与C1交于A，B两点，与抛物线C2无公共点，求△ABF2的面积的取值范围． 参考答案： 【分析】（Ⅰ）依题意可得F1F2的坐标，由此可得椭圆C1与抛物线C2的一个交点为，由椭圆的定义可得a的值，又由a2=b2+c2，解得b的值，将其代入椭圆的方程即可得答案； （Ⅱ）依题意，直线l：x=ty﹣2，联立直线与抛物线的方程整理可得y2﹣ty+2=0，联立直线与椭圆的方程可得（t2+2）y2﹣4ty﹣4=0，进而设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系分析可得|AB|的长度以及F2到直线l距离d，进而可以表示△ABF2的面积，借助换元法分析可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）依题意得2c=4，则F1（2，0）F2（﹣2，0）； 所以椭圆C1与抛物线C2的一个交点为， 于是2a=|PF1|，从而． 又a2=b2+c2，解得b=2 所以椭圆C1的方程为． （Ⅱ）依题意，直线l的斜率不为0，设直线l：x=ty﹣2， 由，消去x整理得y2﹣ty+2=0，由△=（﹣t）2﹣8＜0得t2＜8． 由，消去x整理得（t2+2）y2﹣4ty﹣4=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，， 所以==，F2到直线l距离， 故==， 令，则=， 所以三边形ABF2的面积的取值范围为． 【点评】本题考查直线与椭圆、抛物线的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是正确求出椭圆的标准方程． 21. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，平面，//，，分别为的中点，. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值.   参考答案： 略 22. 已知函数，其中n∈N*，a为常数． （Ⅰ）当n=2时，求函数f（x）的极值； （Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f（x）≤x﹣1． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题． 【专题】计算题；证明题；压轴题． 【分析】（1）欲求：“当n=2时，”的极值，利用导数，求其导函数的零点及单调性进行判断即可； （2）欲证：“f（x）≤x﹣1”，令，利用导函数的单调性，只要证明函数f（x）的最大值是x﹣1即可． 【解答】解：（Ⅰ）解：由已知得函数f（x）的定义域为{x|x＞1}， 当n=2时，，所以． （1）当a＞0时，由f'（x）=0得，， 此时． 当x∈（1，x1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（x1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增． （2）当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）无极值． 综上所述，n=2时， 当a＞0时，f（x）在处取得极小值，极小值为． 当a≤0时，f（x）无极值． （Ⅱ）证法一：因为a=1，所以． 当n为偶数时， 令， 则（x≥2）． 所以当x∈[2，+∞）时，g（x）单调递增， 又g（2）=0， 因此恒成立， 所以f（x）≤x﹣1成立． 当n为奇数时，要证f