广东省河源市横江中学高二数学理联考试卷含解析

广东省河源市横江中学高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 锐角三角形的三边构成等比数列，其中一边的长为1，它们的公比为，则的取值范围是                                                  （　　） A． B． C． D． D． 参考答案： D 略 2. 如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　) 参考答案： A 略 3. 随机变量，且，则等于（    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： A 4. 不等式a2+b2﹣a2b2﹣1≤0成立的充要条件是（　　） A．|a|≥1且|b|≥1 B．|a|≤1且|b|≤1 C．（|a|﹣1）（|b|﹣1）≥0 D．（|a|﹣1）（|b|﹣1）≤0 参考答案： C 【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】a2+b2﹣a2b2﹣1≤0?（a2﹣1）（b2﹣1）≥0?（|a|﹣1）（|b|﹣1）≥0．即可判断出结论． 【解答】解：a2+b2﹣a2b2﹣1≤0?a2（1﹣b2）+（b2﹣1）≤0?（b2﹣1）（1﹣a2）≤0?（a2﹣1）（b2﹣1）≥0?（|a|﹣1）（|b|﹣1）≥0． 故选：C． 【点评】本题考查不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5. 已知i为虚数单位，则复数（　　） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】 本题正确选项： 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．   6. 从的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为（    ） A．                 B．                C．              D． 参考答案： B 略 7. 设为定义在上的奇函数，当时，（为常数）， 则（    ）． A．         B．           C．          D． 参考答案： C 略 8. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（　　） A． B．16π C．9π D． 参考答案： A 【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积． 【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积． 【解答】解：设球的半径为R，则 ∵棱锥的高为4，底面边长为2， ∴R2=（4﹣R）2+（）2， ∴R=， ∴球的表面积为4π?（）2=． 故选：A． 9. 用一个平面截去正方体一角，则截面是(    ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形 参考答案： B 10. 函数在（0，5）上是                 A．单调增函数        B．单调减函数    C．在上单调递增，在上单调递减  D．在上单调递减，在上单调递增 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. i是虚数单位，计算的结果为　　． 参考答案： ﹣i 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可． 【解答】解：i是虚数单位， ===﹣i． 故答案为：﹣i． 12. 已知集合，则集合M∩N=______. 参考答案： {1,2,3,4} 试题分析：两集合的交集为两集合相同的元素构成的集合，所以 考点：集合交集运算 13. 在中，角A,B,C成等差数列且，则的外接圆面积为______ 参考答案： 略 14. 写出命题：“至少有一个实数,使=0”的否定             ． 参考答案： ，使   略 15. 已知数列{an}满足a1=1，an=（n∈N*），则它的通项公式an=　　． 参考答案： 【分析】判断数列的项的符号，利用平方关系转化求解它的通项公式an即可． 【解答】解：数列{an}满足a1=1，an=（n∈N*）， 可知an＞0，可得：， 所以数列{an2}是等差数列，公差为1，可得an2=n， 解得：an=． 故答案为：． 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力． 16. 函数的值域为                      。 参考答案： 17. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)． 参考答案： 36 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知命题：“?x∈{x|﹣1≤x≤1}，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题． （1）求实数m的取值集合B； （2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】集合关系中的参数取值问题；命题的真假判断与应用；一元二次不等式的解法． 【分析】（1）分离出m，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出（x2﹣x）max，求出m的范围． （2）通过对二次不等式对应的两个根大小的讨论，写出集合A，“x∈A是x∈B的充分不必要条件”即A?B，求出a的范围． 【解答】解：（1）命题：“?x∈{x|﹣1≤x≤1}，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题， 得x2﹣x﹣m＜0在﹣1≤x≤1恒成立， ∴m＞（x2﹣x）max 得m＞2 即B=（2，+∞） （2）不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0 ①当3a＞2+a，即a＞1时 解集A=（2+a，3a）， 若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B， ∴2+a≥2此时a∈（1，+∞）． ②当3a=2+a即a=1时 解集A=φ， 若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立． ③当3a＜2+a，即a＜1时 解集A=（3a，2+a），若 x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立， ∴3a≥2此时． 综上①②③：． 【点评】解决不等式恒成立求参数的范围问题，常采用分离参数求最值；解含参数的二次不等式时，长从二次项系数、判别式、两个根的大小进行讨论． 19. （本题满分16分）     已知。 （1）若，求a3的值； （2）求证： （3）若存在整数k (0≤k≤2n)，对任意的整数m (0≤m≤2n)，总有a k ≥a m 成立，这样的k是否唯一？并说明理由。 参考答案： （1）取，有解得，……2分 此时．                               ………………………4分 （2），下面证明：， 当时，左=，右=，左 右，命题成立； …………………………………6分 假设当时，命题成立，有， 则时， ，命题也成立.           由上知，()，即()．…………………10分 （3）由题意知：是中的最大项．，． 所以，10分 令，得，设小于或等于的最大整数为，则 当时，，故（时取等号）； 当时，，，故．…………14分 所以当时，满足条件的正整数有2个，即或； 当时，满足条件的正整数只有1个，即．……………………16分 20. （本小题满分12分） 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点. （Ⅰ）证明：面面； （Ⅱ）求与所成的角的余弦值； （Ⅲ）求二面角的正弦值. 参考答案： 以为坐标原点,长为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，则各点坐标为 . （Ⅰ）证明：因 由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面内，故面⊥面.………………………………………………4分 （Ⅱ）解：因 ……………………………………………7分 所以，AC与PC所成角的余弦值为…………………………………………………8分 （Ⅲ）解：易知平面ACB的一个法向量…………………………………9分 设平面MAC的一个法向量则，不妨取………10分 设二面角的平面角为则， 则 所以  …………………………………………………………12分 21. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知，，A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O. （1）求点C到平面A1ABB1的距离； （2）求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值； （3）若M，N分别为直线AA1，B1C上动点，求MN的最小值. 参考答案： （1）；（2）；（3） 【分析】 （1）连接，根据题意得到，设到平面的距离为，由结合题中数据，即可求出结果； （2）分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，求出两向量夹角的余弦值，即可得出线面角的正弦值； （3）当是异面直线，的公垂线时，的长度最短，设向量，且，，根据题意求出满足题意的一个，根据求出异面直线，间距离，即可得出结果. 【详解】（1）连接，因为平面，所以，因为，， 得，，中，， 在中，，则.又.设到平面的距离为， 则由得，.从而. （2）如图所示，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，. 设平面的法向量，又，. 由，得，令，得，，即. 又.∴. ∴直线与平面所成角的正弦值是. （3）设向量，且，. ∵，. ∴，. 令，得，，即，∵. 所以异面直线，的距离，即为的最小值. 【点睛】本题主要考查求点到面的距离，线面角的正弦值，以及异面直线间的距离，熟记等体积法求点到面的距离，灵活掌握空间向量的方法求线面角、异面直线间距离即可，属于常考题型. 22. 如图，在四边形ABCD中，已知AD^CD, AD=10, AB=14, DBDA=60°, DBCD=135° 求BC的长．   w.w.w.k.s.5.u.c.o.m     参考答案： 解析：在△ABD中，设BD=x 则 即    整理得： 解之：       （舍去） 由余弦定理：   ∴