湖南省邵阳市武冈第九中学高二数学理联考试题含解析

湖南省邵阳市武冈第九中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若双曲线方程为，则它的右焦点坐标为(          ) （A）（1,0）   （B）（0,1）   （C）（3,0）     （D）（0,3） 参考答案： C 略 2. “”是“方程表示圆”的（    ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 时，方程等价于无意义， 但若表示圆，则． ∴“”是“”表示圆的必要不充分条件． 3. 若抛物线上距离点A的最近点恰好是抛物线的顶点，则的取值范围是-（ ）   A.      B.      C.    D. 参考答案： C 4. 函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为（     ） A.2               B.3                 C.4                  D.5 参考答案： A 略 5. 如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机抽取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】几何概型． 【专题】概率与统计． 【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答 【解答】解：由几何概型的计算方法， 可以得出所求事件的概率为P==． 故选：D 【点评】本题主要考查了几何概型，解决此类问题的关键是弄清几何测度，属于基础题． 6. 若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 (     ) A．    B．     C．      D． 参考答案： B 略 7. 已知c＜d, a＞b＞0, 下列不等式中必成立的一个是（　  　） A．a+c＞b+d  B．a–c＞b–d  C．ad＜bc D．   参考答案： B 略 8. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为(     ) A．    B．         C．2         D．4 参考答案： A 9. 某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为（　　） A．k＞4          B．k＞5           C．k＞6        D．k＞7 参考答案： A 10. 与原点及点的距离都是1的直线共有   A.4条          B. 3条            C. 2 条         D. 1条 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，共面，则λ=　 　． 参考答案： 3 【考点】共线向量与共面向量． 【专题】平面向量及应用． 【分析】由于向量，共面，利用向量共面定理可得：存在唯一一对实数m，n使得，解出即可． 【解答】解：∵向量，共面， ∴存在唯一一对实数m，n使得， ∴，解得． 故答案为：3． 【点评】本题考查了向量共面定理，属于基础题． 12. 二面角的大小是，线段，，与所成的角，则与平面所成的角的正弦值是__________． 参考答案： 过点作平面的垂线，垂足为，在内作，垂足为，连接， 则即是二面角的平面角， ∴， 设，则，，，， ∴． 即与平面所成角的正弦值是． 13. 已知圆O的半径为定长r，是圆O外一定点，P是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相较于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（    ） A.圆          B.椭圆           C.双曲线一支        D.抛物线 参考答案： C 略 14. 已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝______. 参考答案： 略 15. 已知正方形的中心为直线和的交点，正方形一边所在直线的方程为，求其它三边所在直线的方程． 参考答案： 19. 答案：   ；  略 16. 已知, 则不等式的解集______________． 参考答案： 略 17. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC．当四边形OACB面积最大时，∠AOB=   　．   参考答案： 150° 【考点】任意角的三角函数的定义． 【分析】设∠AOB=θ，并根据余弦定理，表示出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解． 【解答】解：四边形OACB的面积=△OAB的面积+△ABC的面积，设∠AOB=θ， 则△ABC的面积=?AB?AC?sin60°=?AB2=（OA2+OB2﹣2OA?OB?sinθ）=（5﹣4cosθ）， △OAB的面积=?OA?OB?sinθ==sinθ， 四边形OACB的面积=（5﹣4cosθ）+sinθ=﹣cosθ+sinθ=+2sin（θ﹣60°）， 故当θ﹣60°=90°，即θ=150°时，四边形OACB的面积最大值为+2， 故答案为：150°． 【点评】函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|、最小值为﹣|A|求解，属于中档题． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）已知椭圆 的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为.       （i）若，求直线的倾斜角；       （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值. 参考答案： （Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b. 由题意可知，即ab=2. 解方程组得a=2，b=1. 所以椭圆的方程为.………4分 (Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）. 设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）. 于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得 .由，得.从而.所以. 由，得. 整理得，即，解得k=. 所以直线l的倾斜角为或.………………………………8分 （ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为. 以下分两种情况： （1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是 由，得。…………10分 （2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。 令，解得。由，， ，整理得。故。所以。 综上，或  …………14分 略 19. （本题满分12分）已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线 (是正常数)的距离为，到点的距离为，且1． (1)求动点P所在曲线C的方程； (2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，求证:. 参考答案： 设动点为，                                1分 依据题意，有 ，化简得．           4分 因此，动点P所在曲线C的方程是：．                                        ……………………6分 (2)        由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意， 故可设直线：，如图所示．                               8分 联立方程组，可化为， 则点的坐标满足．                10分 又、，可得点、． 于是，，， 因此． 略 20. 设函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围． 参考答案： (1)上为增区间；上为减区间 (2) 略 21. 已知椭圆的离心率为，一个短轴端点到焦点的距离为2． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知直线l：x+4y﹣2=0，过点A（2，2）作直线m交椭圆C于不同的两点E，F交直线l于点K，问：是否存在常数t，使得恒成立，并说明理由． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（Ⅰ）由题意，列方程组，求得a和b的值，即可求得椭圆方程； （Ⅱ）求得K的横坐标，将直线方程代入椭圆方程，，利用韦达定理，即可求得t的值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：，解得：， ∴椭圆C的方程为．       … （Ⅱ） 设直线m的方程为y=kx+b，有b=2﹣2k． 解得点K的横坐标，… 将直线m代入椭圆方程得：（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0， 由韦达定理，得，，… 所以===2．… ∴存在实数t=2，使得恒成立… 22. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB中点，F为正方形BCC1B1的中心． （1）求直线EF与平面ABCD所成角的正切值； （2）求异面直线A1C与EF所成角的余弦值． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角． 【专题】空间角． 【分析】解法一：（1）取BC中点H，连结FH，EH，证明∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角，即可得出结论； （2）取A1C中点O，连接OF，OA，则∠AOA1为异面直线A1C与EF所成角，由余弦定理，可得结论； 解法二：设正方体棱长为2，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，即可求出结论． 【解答】解法一：（1）取BC中点H，连结FH，EH，设正方体棱长为2． ∵F为BCC1B1中心，E为AB中点． ∴FH⊥平面ABCD，FH=1，EH=． ∴∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角，且FH⊥EH． ∴tan∠FEH===．… （2）取A1C中点O，连接OF，OA，则OF∥AE，且OF=AE． ∴四边形AEFO为平行四边形．∴AO∥EF． ∴∠AOA1为异面直线A1C与EF所成角． ∵A1A=2，AO=A1O=． ∴△AOA1中，由余弦定理得cos∠A1OA=．… 解法二：设正方体棱长为2，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．则B（0，0，0），B1（0，0，2），E（0，1，0），F（1，0，1），C（2，0，0），A1（0，2，2）． （1）=（1，﹣1，1），=（0，0，2），且为平面ABCD的法向量． ∴cos＜，＞=． 设直线EF与平面ABCD所成角大小为θ． ∴sinθ=，从而tanθ=．… （2）∵=（2，﹣2，﹣2），∴cos＜，＞=． ∴异面直线A1C与EF所成角的余弦值为．… 【点评】本题考查空间角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．