2022-2023学年山东省临沂市杨集中学高二数学理期末试题含解析

2022-2023学年山东省临沂市杨集中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若函数在其定义域内的一个子区间（k-1,k+1）上不是单调函数，在实数k的取值范围是（    ） （A）[1,+∞）          （B）   （C.）（1,2）      （D） 参考答案： D 2. 若圆上恰好有三个不同的点到直线的距离为，则的倾斜角为（  ） A.          B.       C.        D. 参考答案： D 3. 命题“，”的否定是(       ) A．，≥0 B．， C．，≥0 D．， 参考答案： C 略 4. 圆的直径为d，其内接矩形面积最大时的边h为(     　) 参考答案： A 5. “”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 参考答案： B 【分析】 根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【详解】由可得或，所以若可得，反之不成立，是的必要不充分条件 故选：B 【点睛】命题：若则是真命题，则是的充分条件，是的必要条件 6. 湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个半径为4cm，深2cm的空穴，则该球表面积为（　　） cm2． A．400π B．300π C．200π D．100π 参考答案： D 【考点】球的体积和表面积． 【分析】设球的半径为Rcm，根据题意可得冰面到球心的距离为（R﹣2）cm，冰面截球得到的小圆半径为4cm，利用勾股定理建立关于R的方程，解出R，再根据球的表面积公式即可算出该球的表面积 【解答】解：设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径， 冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径， 设球的半径为Rcm，则CD=R﹣OD=2cm， ∴Rt△OBD中，OB=Rcm，OD=（R﹣2）cm，BD=4cm． 根据勾股定理，得OD2+BD2=OB2， 即（R﹣2）2+42=R2，解之得R=5cm， ∴该球表面积为S=4πR2=4π×52=100π． 故选：D． 7. 已知双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为（    ） A.－2          B.         C.1      D.0 参考答案： A 8. 已知直角三角形ABC的直角顶点A在平面外，，AB、AC与平面所成的角分别为45、60，，则点A到平面的距离为（    ） A．                     B．2                        C．                      D．3 参考答案： C 略 9. 定积分等于(　　) A．－6         B．6               C．－3             D．3 参考答案： A 略 10. ，表示空间不重合两直线，，表示空间不重合两平面，则下列命题中正确的是  （    ）                             A.若，，且，则 B.若，，则 C.若，，则       D.若，，，则 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生名、名、名，若高三学生共抽取名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是___________． 参考答案： 略 12. 设椭圆E：+= 1（a > b），A、B是长轴的端点，C为短轴的一个端点，F1、F2是焦点，记∠ACB = α，∠F1CF2 = β，若α = 2 β，则椭圆E的离心率e应当满足的方程是            。 参考答案： 2 e 3 – 2 e 2 – 2 e + 1 = 0 13. 数列{an}的前n项和，则它的通项公式是_________________; 参考答案： 14. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90°，CA=CB=CC1=1，则直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为　　． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角． 【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角． 【分析】以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值． 【解答】解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系， 则A1（1，0，1），B（0，1，0）， =（﹣1，1，﹣1），平面BB1C1C的法向量=（1，0，0）， 设直线A1B与平面BB1C1C所成角为θ， 则sinθ===． ∴直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为． 故答案为：． 【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 15. 已知为一次函数,且,则=_______. 参考答案： 16. 已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中，常数项等于______.（用数字作答） 参考答案： 135 【分析】 令，可以求出的展开式中，各项系数的和，二项式系数之和为，由题意可以得到等式，这样可以求出，利用二项式展开式的通项公式，可以求出常数项. 【详解】令，所以的展开式中，各项系数的和为，而二项式系数之和为，由题意可知：，所以展开式的通项公式为：，令，所以展开式中常数项为：. 17. 已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为　    　． 参考答案： 36π 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】正四棱柱的底面边长为x，高为y，则4x+y=18，0＜x＜4.5，求出正四棱柱的外接球的半径的最小值，即可求出外接球的表面积的最小值． 【解答】解：设正四棱柱的底面边长为x，高为y，则4x+y=18，0＜x＜4.5， 正四棱柱的外接球半径为=， 当且仅当x=4时，半径的最小值=3， ∴外接球的表面积的最小值为4π×9=36π． 故答案为36π． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设计算法求的值。要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序。 参考答案： 这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法。 程序框图如图所示： 程序如下： 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，，是中点． （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的余弦值． 参考答案： ∵正方形边长，，. ∴.. ∴.，，∴平面. ∴分别以、、为轴，轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，，. （1）设平面的一个法向量， 则.令，得， ∴与平面所成角的正弦值. ∴点到平面的距离为. （2）设平面的一个法向量， 则令，得， ∴，∴二面角的余弦值为. 20. 在三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，， (1)求的值； (2)设，求a+c的值。 参考答案： 解析：（1）依题意 ，且由有…………2分   …………3分 两边同除以 ，有 解得 …………4分 ∴当时， 当时，…………6分 （2）…………7分     ∴…………8分       由（1）可知       ∴…………10分 又 ∴…………12分 21. （本小题满分12分） 已知一条曲线在轴右侧，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是1． （1）求曲线的方程； （2）（文科做）已知点是曲线上一个动点，点是直线上一个动点，求的最小值． （理科做）是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有·？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 参考答案： 即        将①代入上式，得．            -----------------------8分 ∵对任意实数上式成立, ∴, 而         -----------------------10分 即 ∴．           ∴存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有·，且的取值范围． -----------------------12分 22. （本小题满分12分）已知函数，当时，有极大值； ⑴求的值；⑵求函数的极小值  参考答案： 解：（1）当时，， 即(注意：需要检验) （2），令，得 略