福建省龙岩市漳平西园中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析

福建省龙岩市漳平西园中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设为等差数列的前项和，若，公差，   ，则(    ) A．8      B．7       C．6        D．5 参考答案： D 2. 已知双曲线：的左、右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的 右支相交于、两点，且点的横坐标为，则的周长为 A.　            B.            C.　             D. 参考答案： D 的周长为，故选D. 3. 数列{}的前项和，若p-q=5,则= （     ） A. 10      B. 15      C. -5       D.20 参考答案： D 【知识点】等差数列及等差数列前n项和 解析：当n≥2，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣3n﹣2（n﹣1）2+3n﹣3=4n﹣5 a1=S1=﹣1适合上式，所以an=4n﹣5，所以ap﹣aq=4（p﹣q），因为p﹣q=5， 所以ap﹣aq=20故选：：D． 【思路点拨】利用递推公式当n≥2，an=Sn﹣Sn﹣1，a1=S1可求an=4n﹣5，再利用ap﹣aq=4（p﹣q），p﹣q=5，即可得出结论． 4.  已知=       （    ）        A．1                        B．2                        C．—2                     D． 参考答案： 答案:C 5. 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=|AF|，则A点的横坐标为（　　） A． B．3 C． D．4 参考答案： B 【考点】圆锥曲线的共同特征． 【分析】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣3，y0），根据|AK|=|AF|及AF=AB=x0﹣（﹣3）=x0+3，进而可求得A点坐标． 【解答】解：∵双曲线，其右焦点坐标为（3，0）． ∴抛物线C：y2=12x，准线为x=﹣3， ∴K（﹣3，0） 设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣3，y0） ∵|AK|=|AF|，又AF=AB=x0﹣（﹣3）=x0+3， ∴由BK2=AK2﹣AB2得BK2=AB2，从而y02=（x0+3）2，即12x0=（x0+3）2， 解得x0=3． 故选B． 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握． 　 6. 函数f（x）=2x﹣tanx在（﹣，）上的图象大致是(     ) A． B． C． D． 参考答案： D 考点：函数的图象． 专题：函数的性质及应用． 分析：先看函数是否具备奇偶性，可排除一些选项；再取一些特殊值验证求得结果． 解答： 解：定义域（﹣，）关于原点对称， 因为f（﹣x）=﹣2x+tanx=﹣（2x﹣tanx）=﹣f（x），所以函数f（x）为定义域内的奇函数，可排除B，C； 因为f（）=﹣tan＞0，而f（）=﹣tan（）=﹣（2+）＜0，可排除A． 故选：D． 点评：本题考查函数图象的识别．求解这类问题一般先研究函数的奇偶性、单调性，如果借助函数的这些性质还不能够区分图象时，不妨考虑取特殊点（或局部范围）使问题求解得到突破． 7. 中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”如图1，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数学九章》中对此类问题的解法做了系统的论述，并称之为“大衍求一术”，如图2程序框图的算法思路源于“大衍求一术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为20，17，则输出的c=（　　） A．1 B．6 C．7 D．11 参考答案： C 【考点】程序框图． 【分析】模拟执行程序运行过程，即可得出程序运行后输出的c值． 【解答】解：模拟执行程序运行过程，如下； a=20，b=17，r=3，c=1，m=0，n=1，满足r≠1； a=17，b=3，r=2，q=5，m=1，n=1，c=6，满足r≠1； a=3，b=2，r=1，q=1，m=1，n=6，c=7，满足r=1； 输出c=7． 故选：C． 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 8. “”是“”的 A．必要不充分条件            B．充分不必要条件   C．充要条件               D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 9. 若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1 参考答案： D 【考点】函数的值． 【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】利用分段函数的性质求解． 【解答】解：∵f（x）=，f（f（1））=1， ∴f（1）=lg1=0， f（f（1））=f（0）=0+==a3=1， 解得a=1． 故选：D． 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质及定积分的性质的合理运用． 10. 已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式 的解集为 (   ) A．                              B． C．                                D． 参考答案： 【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；导数的加法与减法法则． 【答案解析】B解析 ：解：令，∵， ∴，∴为减函数， 又，∴， ∴不等式的解集?的解集， 即，又为减函数， ∴，即．故选B． 【思路点拨】构造函数，求导，从而可得的单调性，结合，可求得，然后求出不等式的解集即可． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M在AB上，且AM=AB，则等于     ． 参考答案： 1 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】根据向量的减法运算用表示出和，由数量积的运算律化简，根据条件求值即可． 【解答】解：由题意画出图形如右图： ∵点M在AB上，且AM=AB，∴， ∵=， 且AB=2，AD=1，∠A=60°， ∴=（）?（） = = =1， 故答案为1． 【点评】本题考查了向量的减法运算和数量积的定义、运算律的应用，此题的关键是用表示出和． 12. 若直线y=kx与曲线y=x+e﹣x相切，则k=　  ． 参考答案： 1﹣e 【分析】设切点为（x0，y0），求出y=x+e﹣x的导数，求出切线斜率，利用切点在直线上，代入方程，即可得到结论． 【解答】解：设切点为（x0，y0），则y0=x0+e﹣x0， ∵y′=（x+e﹣x）′=1﹣e﹣x，∴切线斜率k=1﹣e﹣x0， 又点（x0，y0）在直线上，代入方程得y0=kx0， 即x0+e﹣x0=（1﹣e﹣x0）x0， 解得x0=﹣1， ∴k=1﹣e． 故答案为：1﹣e． 【点评】本题考查切线方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题． 13. 将2红2白共4个球随机排成一排，则同色球均相邻的概率为　　． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】一一列举出所有的基本事件，找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可． 【解答】解：将2红2白共4个球随机排成一排，由红红白白，红白红白，红白白红，白红红白，白红白红，白白红红共6种，其中同色球均相邻的有2种， 故同色球均相邻的概率为=， 故答案为： 14. 某所学校计划招聘男教师名,女教师名, 和须满足约束条件，则该校招聘的教师最多是         名. 参考答案： 10 15. 函数在处的切线与y轴的交点为           。 参考答案： 16. 不等式的解集为         。 参考答案： 17. 设函数是定义在上的奇函数，若当时，,则满足的的取值范围是　　　　　 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为1的菱形，且，，分别是的中点。 （I）证明：； （II）求二面角的余弦值。 参考答案： 【知识点】垂直关系 二面角的求法G5 G11 （I）略；（II） （I）取AD的中点G，因为PA=PD，所以PG⊥AD,由题意知△ABC是等边三角形，所以BG⊥AD,又PG,BG是平面PGB的两条相交直线，所以AD⊥平面PGB，因为EF∥PB,DE∥GB,所以平面DEF∥平面PGB,所以AD⊥平面DEF; （II）由(1)知∠PGB为二面角P-AD-B的平面角，在Rt△PGA中，,在Rt△BGA中，,在△PGB中 . 【思路点拨】证明线面垂直，通常利用其判定定理进行证明，求二面角时可先找出其平面角，再利用其所在的三角形求值. 19. 已知函数. （1）求的值域； （2）用函数单调性定义证明：在定义域上为增函数. 参考答案： 解：（1） 因为，所以，所以         所以. 即函数的值域为 （2）任取，且. 则      因为，且函数在上为增函数   所以，即 又因为      所以，即 所以，在上为增函数. 略 20. 已知函数f（x）=lnx+ax，a∈R． （I）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）若函数f（x）的两个零点为x1，x2，且，求证：． 参考答案： 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性． 【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；构造法；导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）=lnx+ax，a∈R的定义域与导数，通过a≥0，a＜0，利用导函数的符号，求解函数的单调区间即可． （Ⅱ）利用lnx1+ax1=0，lnx2+ax2=0，推出lnx2﹣lnx1=a（x1﹣x2），通过化简所证明的不等式，结合，，构造函数，利用导函数的单调性，推出?（t）在[e2，+∞）上单调增，推出结果即可． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+ax，a∈R的定义域为{x|x＞0}， ， （1）a≥0，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调增； 在上单调增； 在上单调减．… （Ⅱ）∵lnx1+ax1=0，lnx2+ax2=0， ∴lnx2﹣lnx1=a（x1﹣x2）= 令，令，则 令，令，则， ∴?（t）在[e2，+∞）上单调增， …． 【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力，难度比较大． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆=1（a＞b＞0）上不同的三点，，B（﹣2，﹣2），C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上． （1）求椭圆的标准方程； （2）求点C的坐标； （3）设动点P在椭圆上（异于点A，B，C）且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明为定值并求出该定值． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）将A，B坐标代入椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆的标准方程； （2）设点C（m，n）（m＜0，n＜0），则BC中点为（，），求得直线OA的方程，利用点C在椭圆