湖南省益阳市西洲中学2022年高二数学理月考试卷含解析

湖南省益阳市西洲中学2022年高二数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 双曲线﹣=1的离心率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】求得双曲线的a，b，c，运用e=，计算即可得到所求值． 【解答】解：双曲线﹣=1的a=5，b=4，c==， 可得e==． 故选：C． 2. 设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（           ） A．若直线AB与CD没有公共点，则AB∥CD B．若AC与BD共面，则AD与BC共面 C．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC                             参考答案： A 略 3. 近年来，微信越来越受欢迎，许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息，微信是现代生活中进行信息交流的重要工具．而微信支付为用户带来了全新的支付体验，支付环节由此变得简便而快捷．某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计，得到如下的列联表。   40岁以下 40岁以上 合计 使用微信支付 35 15 50 未使用微信支付 20 30 50 合计 55 45 100   参考公式： 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828   参照附表，则所得到的统计学结论正确的是（   ） A. 有99.9%的把握认为“使用微信支付与年龄有关” B. 有99.5%的把握认为“使用微信支付与年龄有关” C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“使用微信支付与年龄有关” D. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“使用微信支付与年龄无关” 参考答案： B 【分析】 由列联表中的数据计算的观测值即可得到答案。 【详解】由列联表中的数据计算的观测值， 所以有的把握认为“使用微信支付与年龄有关” 故选B. 【点睛】本题考查独立性检验，解题的关键是由列联表中的数据计算的观测值与临界值进行比较，属于简单题。 4. 不等式x(2－x)＞3的解集是(　　) A．{x|－1＜x＜3}  B．{x|－3＜x＜1} C．{x|x＜－3或x＞1}  D．? 参考答案： D 略 5. △ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c．若a=b，A=2B，则cos B=（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】正弦定理的应用． 【分析】通过正弦定理得出sinA和sinB的方程组，求出cosB的值． 【解答】解：∵△ABC中，， ∴根据正弦定理得 ∴ 故选B． 6. 直线l的参数方程为，（t为参数），上的点P1对应的参数是t1，则点P1 与P（a，b）之间的距离为            （　　）． A．|t1|  B．2|t1|  C．|t1|  D．|t1| 参考答案： Ｃ 7. 已知某空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为如右图所示的等腰直角三角形，如果该直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体外接球的表面积是（    ） A．6     B．5   C．4    D．3 参考答案： D 8. 对于a∈R，直线（x+y﹣1）﹣a（x+1）=0恒过定点P，则以P为圆心，为半径的圆的方程是（　　） A．x2+y2+2x+4y=0 B．x2+y2+2x﹣4y=0 C．x2+y2﹣2x+4y=0 D．x2+y2﹣2x﹣4y=0 参考答案： B 【考点】圆的一般方程；恒过定点的直线． 【专题】计算题；直线与圆． 【分析】联解直线x+y﹣1=0与x+1=0的方程，可得直线（x+y﹣1）﹣a（x+1）=0恒过定点P（﹣1，2）．由圆的标准式方程，写出圆的方程再化成一般式方程，可得本题答案． 【解答】解：联解，可得x=﹣1，y=2 ∴直线（x+y﹣1）﹣a（x+1）=0恒过定点P（﹣1，2） 因此以P为圆心，为半径的圆的方程是（x+1）2+（y﹣2）2=5 化成一般式可得x2+y2+2x﹣4y=0 故选：B 【点评】本题给出直线经过定点P，求以P为圆心且为半径的圆．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题． 9. 已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC是一个 A．等边三角形                      B．直角三角形 C．三边中有两边相等的等腰三角形    D．三边互不相等的三角形 参考答案： A 10. 等比数列中，公比，记（即表示数列的前项之积）， ，，，中值为正数的个数是（    ） A．      B．      C．       D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若是纯虚数，则的值为          ． 参考答案：   . 12. 原命题：“设”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数是______________________. 参考答案： 2 13. 如果复数 ,则的模为      参考答案： 2 14. 已知点及抛物线上的动点，则的最小值为______. 参考答案： 略 15. 设是(3 +)n的展开式中x项的系数(n=2, 3, 4,… ), 则当n＞100时, ++…+的整数部分的值为          . 参考答案： 17 16. 已知数列{)满足,则该数列的通项公式=______ 参考答案： 17. 设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且满足，则△F1PF2的面积等于             ． 参考答案： 1 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=4，又|F1F2|=2 ，∠F1PF2=，利用余弦定理可求得|PF1|?|PF2|，从而可求得△F1PF2的面积． 【解答】解：∵P是椭圆 上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=， ∴|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2 ， 在△F1PF2中，由勾股定理得： |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|PF1|?|PF2| =16﹣2|PF1|?|PF2|=16﹣2|PF1|?|PF2|=12， ∴|PF1|?|PF2|=2， ∴S△F1PF2=|PF1|?|PF2|=1 故答案为：1 【点评】本题考查椭圆的简单性质与标准方程，考查勾股定理与三角形的面积，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行． （Ⅰ）求k的值； （Ⅱ）求f（x）的单调区间； （Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）由题意，求出函数的导数，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值； （II）由（I）知， =，x∈（0，+∞），利用导数解出函数的单调区间即可； （III）先给出g（x）=xf'（x），考查解析式发现当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2一定成立，由此将问题转化为证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立，利用导数求出函数在（0，1）上的最值，与1+e﹣2比较即可得出要证的结论． 【解答】解：（I）函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）， ∴=，x∈（0，+∞）， 由已知，，∴k=1． （II）由（I）知， =，x∈（0，+∞）， 设h（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），h'（x）=﹣（lnx+2）， 当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，当x∈（ e﹣2，1）时，h'（x）＜0， 可得h（x）在x∈（0，e﹣2）时是增函数，在x∈（ e﹣2，1）时是减函数，在（1，+∞）上是减函数， 又h（1）=0，h（e﹣2）＞0，又x趋向于0时，h（x）的函数值趋向于1 ∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0， 当x＞1时h（x）＜0，从而f'（x）＜0． 综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）． （III）由（II）可知，当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2，故只需证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立． 当0＜x＜1时，ex＞1，且g（x）＞0，∴． 设F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），则F'（x）=﹣（lnx+2）， 当x∈（0，e﹣2）时，F'（x）＞0，当x∈（ e﹣2，1）时，F'（x）＜0， 所以当x=e﹣2时，F（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2． 所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2． 综上，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2． 19. 某学校为调查高三年学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））．已知图（1）中身高在170～175cm的男生人数有16人． （Ⅰ）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？ （Ⅱ）在上述80名学生中，从身高在170～175cm之间的学生中按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 【分析】（Ⅰ）直方图，身高在170～175 cm的男生的频率为0.4，由此能求出男生数和女生数． （Ⅱ）在170～175 cm之间的男生有16人，女生人数有4人．按分层抽样的方法抽出5人，则男生占4人，女生占1人，由此能求出3人中恰好有一名女生的概率． 【解答】解：（Ⅰ）直方图中，因为身高在170～175 cm的男生的频率为0.08×5=0.4，设男生数为n，则，解得n=40， 由男生的人数为40，得女生的人数为80﹣40=40．（6分） （Ⅱ）在170～175 cm之间的男生有16人，女生人数有4人． 按分层抽样的方法抽出5人，则男生占4人，女生占1人．（9分） 设男生为A1，A2，A3，A4，女生为B． 从5人任先两人，有种选法． 3人中恰好有一名女生包含的基本事件个数为=6， ∴3人中恰好有一名女生的概率为p=．12分 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 20. 某便利店计划每天购进某品牌鲜奶若干件，便利店每销售一瓶鲜奶可获利3元；若供大于求，剩余鲜奶全部退回，但每瓶鲜奶亏损1元；若供不应求，则便利店可从外调剂，此时每瓶调剂品可获利2元. （1）若便利店一天购进鲜奶100瓶，求当天的利润y（单位：元）关于当天鲜奶需求量n（单位：瓶，）的函数解析式； （2）便利店记录了50天该鲜奶的日需求量n（单位：瓶，）整理得下表： 日需求量 70 80 90 100 110 120 频数 4 8 10 14 9 5 若便利店