福建省福州市福清祖钦中学高三数学理下学期期末试卷含解析

福建省福州市福清祖钦中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知定义在上 的函数与函数的图像有唯一公共点，则实数的值为（） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 原题等价为有一解，即，令,确定其函数性质即可求解 【详解】与函数的图像有唯一公共点， 故有唯一解，即有唯一解 令，所以g（x）关于x=2对称，故a=g(2)=2 故选：D 【点睛】本题考查函数性质及方程的根，准确构造函数判断其对称性是本题关键，是基础题 2. 已知数列{an}是等差数列，a2=2，a5=8，则公差d的值为（    ）     A． B． C．2 D．-2 参考答案： C 略 3. 已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（　　） A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D． 参考答案： B 考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解． 解答： 解：∵原函数的定义域为（﹣1，0）， ∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣． ∴则函数f（2x+1）的定义域为． 故选B． 点评： 考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题． 4. 设偶函数满足，则(   ) A. B. C. D. 参考答案： B 略 5. 设i为虚数单位，复数 的共轭复数为 ，且 ，则复数z的模为    (A)5           (B)        (C)2 -i        (D)1 参考答案： B 略 6. 现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为3 ，则其包装盒的体积的最小值为（    ） A．36π          B．72π       C. 81π        D．216π 参考答案： B 7. 由直线及曲线围成的封闭图形的面积为（   ） A．       B．    C．        D． 参考答案： D 略 8. 在整数集z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，则[k]=[5n+k]，k=0，1，2，3，4，则下列结论错误的是（　　） 　 A． 2013∈[3] 　 B． Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] 　 C． “整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]” 　 D． 命题“整数a，b满足a∈[1]，b∈[3]，则a+b∈[4]”的原命题与逆命题都为真命题 　 参考答案： D 略 9. 已知sin2α＜0，且cosα＞0，则α的终边落在(     ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： D 【考点】三角函数值的符号． 【专题】计算题． 【分析】利用二倍角的正弦公式将已知sin2α＜0转化为α的三角函数的符号，根据α的正弦为负，余弦为正，判断出角α的终边的位置． 【解答】解：∵sin2α＜0即2sinαcosα＜0 又cosα＞0 ∴sinα＜0 ∴α的终边第四象限 故选D 【点评】判断角的终边的位置，一般先判断出角的三角函数的符号，根据三角函数的符号判断出角的终边所在的象限． 10. 若存在两个正实数x，y使得等式成立（其中，是以e为底的对数），则实数a的取值范围是（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 对进行变形，将求的取值范围转化为求的值域，利用导数即可得出实数的取值范围。 【详解】可化为 令 则， 函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减。 即 ，则 故选C 【点睛】求参数的范围可采用参数分离，再利用导数去得出函数的最值，从而得到参数的范围。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知向量、的夹角为150°，，，则=            . 参考答案： 1 12. 若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为    参考答案： -540； 略 13. 设x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为3，则m=         ． 参考答案： 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合z=2x﹣y的最大值为3，利用数形结合即可得到结论．． 解答： 解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z， 经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z取得最大值3， 由，解得，即A（，）． 将A的坐标代入x﹣y+m=0，得m=y﹣x=﹣=， 故答案为：． 点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 14. 已知向量，，．若，则________． 参考答案： 由题可得 ,即   15. 随机掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为m，已知向量=（m，1），=（2﹣m，﹣4），设X=，则X的数学期望E（X）=　  　． 参考答案： 4 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据平面向量的数量积运算求出X，再根据m的取值求出X的可能取值，得出对应的概率，写出X的分布列与数学期望． 【解答】解：向量=（m，1），=（2﹣m，﹣4）， ∴=+=（2，﹣3）， ∴X=?=2m﹣3， 又m=1，2，3，4，5，6； ∴X=﹣1，1，3，5，7，9； 且P（X=﹣1）=P（X=1）=P（X=3）=P（X=5）=P（X=7）=P（X=9）=； ∴X的分布列为： X ﹣1 1 3 5 7 9 P 数学期望E（X）=（﹣1+1+3+5+7+9）×=4． 　 16. 已知三顶点的坐标为是坐标平面内一点，且满足 ，则的最小值为    __  . 参考答案： 3 17. 已知则_______． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知等差数列{an}的首项为a，公差为d，且方程ax2﹣3x+2=0的解为1，d． （1）求{an}的通项公式及前n项和Sn公式； （2）求数列{3n﹣1an}的前n项和Tn． 参考答案： 解：（1）方程ax2﹣3x+2=0的两根为1，d． 利用韦达定理得， 解得a=1，d=2． 由此知an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，．（6分） （2）令， 则，，（8分） 两式相减，得（10分） = =﹣2﹣2（n﹣1）?3n． ∴．（12分）   略 19. 已知公差不为0的等差数列的首项，，设数列的前项和为，且成等比数列. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，若，求的值. 参考答案： （I）解：设等差数列的公差为d，由，得 因为，所以. 所以               -----------------------------------6分 （II）解：,因为，所以  ∵,∴a=2.------------------------------12分 20. （本小题满分12分） 设函数. （Ⅰ）求的值域； （Ⅱ ）记的内角的对边长分别为，若，，求的值. 参考答案： （Ⅰ）;（Ⅱ）或 （Ⅰ）        因为，所以， 所以的值域为．                        ………6分 （Ⅱ）由得：，即． 又因为在中，，故． 在中，由余弦定理得：   解得：或.  ………12分 21. 已知函数f（x）=x2﹣2ax+2lnx， （1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=2x+4平行，试求实数a的值； （2）若函数f（x）在定义域上为增函数，试求实数a的取值范围； （3）若y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，a≥．若不等式f（x1）≥mx2恒成立，试求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用． 【分析】（1）求当a=1时，函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a； （2）求得导数，由题意可得f′（x）=2x﹣2a+≥0在x＞0恒成立，即有a≤x+的最小值，运用基本不等式可得最小值，即可得到a的范围； （3）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，方程x2﹣ax+1=0有两个不等的正根，求得两根，求得范围；不等式f（x1）≥mx2恒成立即为≥m，求得=x13﹣2ax12+2x1lnx1=﹣x13﹣2x1+2x1lnx1， 设h（x）=﹣x3﹣2x+2xlnx（0＜x≤），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的最小值，即可求得m的范围． 【解答】解：（1）因为f（x）=x2﹣2ax+2lnx， 所以f′（x）=2x﹣2a+． 因为在x=1处的切线与直线y=2x+4平行， 所以2﹣2a+2=2，解得a=1； （2）函数f（x）在定义域上为增函数， 即为f′（x）=2x﹣2a+≥0在x＞0恒成立， 即有a≤x+的最小值，由x+≥2，当且仅当x=1时，取得最小值2， 则有a≤2； （3）函数f（x）的导数为f′（x）=2x﹣2a+， 函数f（x）有两个极值点x1，x2，即方程x2﹣ax+1=0有两个不等的正根， 由a≥，可得判别式△=a2﹣4＞0． 因为x2﹣ax+1=0， 所以x1x2=1，x1+x2=a，x1=，x2=≥2． 因为a≥，所以0＜x1≤， 因为=x1f（x1）=x13﹣2ax12+2x1lnx1=﹣x13﹣2x1+2x1lnx1， 设h（x）=﹣x3﹣2x+2xlnx（0＜x≤）， 则h′（x）=﹣3x2﹣2+2+2lnx=﹣3x2+2lnx， 因为0＜x＜，则lnx＜0， h'（x）＜0?h（x）在（0，]上单调递减， 则h（x）≥h（）=﹣ln2﹣． 所以m＜﹣ln2﹣． 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值或范围，属于难题． 22. （本小题满分12分）     已知函数    （I）若函数    （II）设的充分条件，求实数m的取值范围。 参考答案： 解：（1） 而，   (2)