重庆潼南塘坝中学高三数学理下学期期末试卷含解析

重庆潼南塘坝中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，的最大值是（ ） A．6         B．0       C. 2         D． 参考答案： A 由作出可行域，如图， 由图可得，，，由，得，∴，化目标函数为，∴当过A点时，z最大，.   2. 复平面内表示复数z=（3m2+m﹣2）+（4m2﹣15m+9）i的点位于第一象限，则实数m=（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞） B．（﹣∞，）∪（3，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（，）∪（3，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞） 参考答案： C 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】由复数z=（3m2+m﹣2）+（4m2﹣15m+9）i对应的点位于第一象限，得3m2+m﹣2＞0且4m2﹣15m+9＞0，求解不等式组求得实数m的范围． 【解答】解：∵复数z=（3m2+m﹣2）+（4m2﹣15m+9）i对应的点位于第一象限， ∴3m2+m﹣2＞0且4m2﹣15m+9＞0，解得m＜﹣1或或m＞3． 故选：C． 【点评】本题考查复数与复平面内对应点之间的关系，解不等式3m2+m﹣2＞0且4m2﹣15m+9＞0是解题的关键，是基础题． 3. 设函数，则                               （    ）    A．在区间， 内均有零点   B．在区间， 内均无零点 C．在区间内有零点，在区间内无零点   D．在区间内无零点，在区间内有零点 参考答案： D 略 4. 函数的定义域为，值域为，则的取值范围是        .   参考答案： 略 5. 函数f（x）=1+log2x与g（x）=2x+1在同一直角坐标系下的图象大致是(   )    参考答案： C 6. 设函数的导函数为，那么下列说法正确的是 A.若 ，则 是函数 的极值点 B. 若 是函数 的极值点，则 C. 若 是函数 的极值点，则可能不存在 D.若无实根 ，则函数 必无极值点   参考答案： B 略 7. 若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M=的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（　　） A．31 B．7 C．3 D．1 参考答案： B 【考点】12：元素与集合关系的判断． 【专题】49 ：综合法；4R：转化法；5J ：集合． 【分析】利用x∈A，则∈A，即可判断出集合A的伙伴关系集合个数． 【解答】解：集合M=的所有非空子集中具有伙伴关系的集合为： {﹣1}，{，2}，{，3}，{﹣1，，2}，{﹣1，，3}，{，2，，3}，{﹣1，，2，，3}， 故选：B． 8. 已知等差数列，满足，则数列的前13项之和为 A．24 B．39 C．52 D．104 参考答案： C 9. 已知的实根个数是（   ） A．1个  B．2个     C．3个    D．1个或2个或3个 参考答案： B 略 10. 已知向量、满足，，，则一定共线的三点是(     ) A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 参考答案： A 考点：平面向量的基本定理及其意义． 专题：平面向量及应用． 分析：证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点 解答： 解：由向量的加法原理知==2， 又两线段过同点B，故三点A，B，D一定共线． 故选A． 点评：本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列{an}与{bn}满足，，且，          ． 参考答案： 12. 在△中，，，，则____________． 参考答案： 略 13. 已知定义在R上的函数则=        . 参考答案：   14. 若集合，集合，则        参考答案： 15. 已知圆锥曲线C：，则当时，该曲线的离心率的取值范 围是         参考答案： 16. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是      ; 参考答案： 0 由于圆C的方程为（x-4）2+y2=1，由题意可知，只需（x-4）2+y2=4与直线有公共点即可，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可，得到的最大值是0 17. （5分）如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1、a2，则它们的大小关系是　     　． 参考答案： a1＞a2 由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后，两组数据都有五个数据， 代入数据可以求得甲和乙的平均分， a1=+80=84， a2=+80=85， ∴a2＞a1 故答案为a1＞a2． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知m∈R，设p：对?x∈[﹣1，1]，x2﹣2x﹣4m2+8m﹣2≥0恒成立；q：?x∈[1，2]，成立．如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，求m的取值范围． 参考答案： 【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题． 【分析】如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p与q一真一假，进而可得m的取值范围． 【解答】解：若p为真：对?x∈[﹣1，1]，4m2﹣8m≤x2﹣2x﹣2恒成立， 设f（x）=x2﹣2x﹣2，配方得f（x）=（x﹣1）2﹣3， ∴f（x）在[﹣1，1]上的最小值为﹣3， ∴4m2﹣8m≤﹣3， 解得， ∴p为真时，； 若q为真：?x∈[1，2]，x2﹣mx+1＞2成立， ∴成立， 设，易知g（x）在[1，2]上是增函数， ∴g（x）的最大值为， ∴， ∵“p∨q”为真，“p∧q”为假， ∴p与q一真一假， 当p真q假时，， ∴， 当p假q真时，， ∴， 综上所述，m的取值范围为或． 19. 每年的4月23日为世界读书日，为调查某高校学生（学生很多）的读书情况，随机抽取了男生，女生各20人组成的一个样本，对他们的年阅读量（单位：本）进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频率分布表和女生阅读量的频率分布直方图． 男生年阅读量的频率分布表（年阅读量均在区间[0，60]内）： 本/年 [0，10） [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60] 频数 3 1 8 4 2 2 （Ⅰ）根据女生的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数； （Ⅱ）在样本中，利用分层抽样的方法，从男生年与度量在[20，30），[30，40）的两组里抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求[30，40）这一组中至少有1人被抽中的概率； （Ⅲ）若年阅读量不小于40本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究阅读丰富与性别的关系，完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为月底丰富与性别有关． 性别    阅读量 丰富 不丰富 合计 男       女       合计         P（K2≥k0） 0.025 0.010 0.005 k0 5.024 6.635 7.879 附：K2=，其中n=a+b+c+d． 参考答案： 【考点】独立性检验． 【分析】（Ⅰ）求出前三组频率之和，即可根据女生的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数； （Ⅱ）确定基本事件的个数，即可求[30，40）这一组中至少有1人被抽中的概率； （Ⅲ）根据所给数据得出2×2列联表，求出K2，即可判断是否有99%的把握认为月底丰富与性别有关． 【解答】解：（Ⅰ）前三组频率之和为0.1+0.2+0.25=0.55， ∴中位数位于第三组，设中位数为a，则=， ∴a=38， ∴估计该校女生年阅读量的中位数为38； （Ⅱ）利用分层抽样的方法，从男生年与度量在[20，30），[30，40）的两组里抽取6人，从这6人中随机抽取2人，共有方法=15种，各组分别为4人，2人，[30，40）这一组中至少有1人被抽中的概率1﹣=； （Ⅲ） 性别    阅读量 丰富 不丰富 合计 男 4 16 20 女 9 11 20 合计 13 27 40 K2=≈2.849＜6.635， ∴没有99%的把握认为月底丰富与性别有关． 【点评】本题考查频率分布直方图，考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，属于中档题． 20. 设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换． （1）求矩阵的特征值及相应的特征向量； （2）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程． 参考答案： （1）由条件得矩阵，它的特征值为和，对应的特征向量为及； （2）， 椭圆在的作用下的新曲线的方程为． 21. 已知函数f（x）= （Ⅰ）求f（ ）及x∈[2，3]时函数f（x）的解析式 （Ⅱ）若f（x）≤对任意x∈（0，3]恒成立，求实数k的最小值． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用． 【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=可求f（）的值，由x∈[2，3]?x﹣2∈[0，1]，可求得此时函数f（x）的解析式； （Ⅱ）依题意，分x∈（0，1]、x∈（1，2]、x∈（2，3]三类讨论，利用导数由f（x）≤对任意x∈（0，3]恒成立，即可求得实数k的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）f（）=﹣f（）=f（）=×=． 当x∈[2，3]时，x﹣2∈[0，1]，所以f（x）= [（x﹣2）﹣（x﹣2）2]=（x﹣2）（3﹣x）． （Ⅱ）①当x∈（0，1]时，f（x）=x﹣x2， 则对任意x∈（0，1]，x﹣x2≤恒成立?k≥（x2﹣x3）max， 令h（x）=x2﹣x3，则h′（x）=2x﹣3x2，令h′（x）=0，可得x=， 当x∈（0，）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增； 当x∈（，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减， ∴h（x）max=h（）=； ②当x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，所以f（x）=﹣ [（x﹣1）﹣（x﹣1）2]≤恒成立 ?k≥（x3﹣3x2+2x），x∈（1，2]． 令t（x）=x3﹣3x2+2x，x∈（1，2]．则t′（x）=3x2﹣6x+2=3（x﹣1）2﹣1， 当x∈（1，1+）时，t（x）单调递减，当x∈（1+，2]时，t（x）单调递增， t（x）max=t（2）=0， ∴k≥0（当且仅当x=2时取“=”）； ③当x∈（2，3]时，x﹣2∈[0，1]，令x﹣2=t∈（0，1]， 则k≥（t+2）（t﹣t2）=g（t），在t∈（0，1]恒成立． g′（t）=﹣（3t2+2t﹣2）=0可得，存在t0∈[，1]，函数在t=t0时取得最大值． 而t0∈[，1]时，h（t）﹣g（t）=（t2﹣t3）+（t+2）（t2﹣t）=t（1﹣t）（2t﹣1）＞0， 所以，h（t）max＞g（t）max， 当k≥时，k≥h（t）max＞g（t）max成立， 综上所述，k≥0，即kmin=0． 22. （本小题满分14分）如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，动点的轨迹为． （1）求曲线的方程； （2）设