湖南省张家界市武溪中学高三数学理模拟试题含解析

湖南省张家界市武溪中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的部分图象大致为(　　) 参考答案： C 由f(x)为奇函数，排除B，＜1，排除A. 当x＞0时，，，∴在区间(1,+∞)上f(x)单调递增，排除D，故选C. 2. 若角的终边上有一点，则的值是（　　 ） A. B. C. D. 参考答案： B 3. 关于的不等式的解是(     ) A.                 B.   C.                D. 参考答案：  答案：B  4. 二项式（2x3﹣）7展开式中的常数项为（　　） A．﹣14 B．﹣7 C．14 D．7 参考答案： C 【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：（2x3﹣）7展开式中的通项公式：Tr+1=（2x3）7﹣r=（﹣1）r27﹣r． 令21﹣=0，解得r=6． ∴常数项T7==14． 故选：C． 5. （5分）下列命题中为真命题的是（　　） 　 A． 若x≠0，则x+≥2 　 B． 命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1 　 C． “a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件 　 D． 若命题P：?x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：?x∈R，x2﹣x+1＞0 参考答案： B 【考点】： 命题的真假判断与应用． 【专题】： 计算题；推理和证明． 【分析】： 对四个命题，分别进行判断，即可得出结论． 解：对于A，x＞0，利用基本不等式，可得x+≥2，故不正确； 对于B，命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1，正确； 对于C，“a=±1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件，故不正确； 对于D，命题P：?x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：?x∈R，x2﹣x+1≥0，故不正确． 故选：B． 【点评】： 本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 6. 已知集合则满足的集合个数是（  ）                                  参考答案： C 7. 已知向量，，若与垂直，则 (      ) A．           B．           C．2            D．4 参考答案： C 由题意知，因为与垂直，所以，即，所以，解得，所以，选C. 8. （5分）F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为 A，交另一条渐近线于点 B．若2=，则C的离心率是（　　） 　 A．  B． 2 C．  D． 参考答案： C 【考点】： 双曲线的简单性质． 【专题】： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】： 设一渐近线OA的方程为y=x，设A（m，m），B（n，﹣），由 2=，求得点A的坐标，再由FA⊥OA，斜率之积等于﹣1，求出a2=3b2，代入e==进行运算．  解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x， 则另一渐近线OB的方程为 y=﹣x， 设A（m，），B（n，﹣）， ∵2=， ∴2（c﹣m，﹣）=（n﹣c，﹣）， ∴2（c﹣m）=n﹣c，﹣=﹣， ∴m=c，n=， ∴A（， ）． 由FA⊥OA可得，斜率之积等于﹣1，即 ?=﹣1， ∴a2=3b2，∴e===． 故选C． 【点评】： 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得点A的坐标是解题的关键． 9. 设全集，集合，集合，则=（    ）    A．         B．        C．           D． 参考答案： A 略 10. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为                                                         A．1  B．   C．      D．   参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数。 （1）求的周期；（2）在上的减区间；Ks5u （3）若，，求的值。 参考答案： 解：（1） ，（）… 3分 所以，的周期。                …… 4分 （2）由，得。… 6分 又， 令，得；令，得（舍去）Ks5u   ∴ 在上的减区间是。     …… 8分 （3）由，得， ∴ ， ∴… 10分 又，∴… 11分 ∴ ，∴… 13分 ∴。      ……14分 略 12. 用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为　　． 参考答案： 4800 考点： 分层抽样方法． 专题： 概率与统计． 分析： 求出抽样比，然后求解即可． 解答： 解：样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800， 可得抽样比为：=， 该批次产品总数为：=4800． 故答案为：4800； 点评： 本题考查分层抽样的应用，就抽样比的解题的关键． 13. 各项都为正数的数列，其前项的和为，且   ，若，且数列的前项的和为，则=  ▲    ． 参考答案： 略 14. 曲线y=x3﹣2x在点（1，﹣1）处的切线方程是         ． 参考答案： x﹣y﹣2=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】计算题． 【分析】根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可． 【解答】解：y'=﹣2+3x2 y'|x=﹣1=1 而切点的坐标为（1，﹣1） ∴曲线y=x3﹣2x在x=1的处的切线方程为x﹣y﹣2=0 故答案为：x﹣y﹣2=0 【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题． 15. 在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标为       ． 参考答案： 在直角坐标系中，的坐标是，点所在的直线的方程是，设的坐标是，则得 解得的坐标是，它的极坐标是。 16. 函数的最小值为  ☆  ． 参考答案：       17. 已知函数，则  ▲  ． 参考答案： -1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系xOy中,已知点,动点C满足条件:△ABC的周长 为,记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程； (2)曲线W上是否存在这样的点P:它到直线的距离恰好等于它到点B的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.   参考答案： 解:(1)设C(x,y),∵……3分 ∴由椭圆的定义知,动点C的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为的椭圆(除去与x轴的两个交点).    …… 5分    ∴W:    ……6分 (2)假设存在点P满足题意,则点P为抛物线与曲线W:的交点， 由消去得:                             ……9分 解得（舍去）                                ……11分 由代人抛物线的方程得                         ……13分 所以存在两个点和满足题意.              ……14分 19. 平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，，，. （1）证明：平面ACC1 A1⊥平面BDD1B1； （2）设BD与AC交于O点，求二面角B-OB1-C平面角正弦值. 参考答案： （1）证明：设，交于点，∵底面为菱形，∴，又∵，是的中点，∴，，∴平面，又∵平面，∴平面平面； （2）解：∵，是的中点，∴，，，两两垂直，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示， 设，由题得，，，则 ，，，， 设是平面的一个法向量， ，， ，可得， 设是平面的一个法向量， ，， ，可得， ， ∴二面角平面角正弦值为.   20. 已知函数，. （Ⅰ）若函数为定义域上的单调函数，求实数的取值范围； （Ⅱ）当时，函数的两个极值点为，，且.证明：. 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）见解析． 试题分析：（Ⅰ）首先求得函数的定义域与导函数，然后结合判别式判断导函数的符号，得到函数的单调性，从而求得的取值范围；（Ⅱ）首先将问题转化为有两个不等的实根，，由此得到的范围，从而得到的范围，然后根据的表达式构造新函数，由此通过求导研究新函数的单调性使问题得证． 试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为．　 由题意，，. ①若，即，则恒成立，则在上为单调减函数； ②若，即，方程的两个根为，，当时，，所以函数单调递减，当时，，所以函数单调递增，不符合题意．　 综上，若函数为定义域上的单调函数，则实数的取值范围为. （Ⅱ）因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根， 即有两个不等的实根，， 可得，且， 因为，则，可得. ，. 令，，， ∵， 又，时，， 而，故在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上单调递减， 所以，得证． 考点：1、导数研究函数的单调性；2、函数极值与导数的关系   21. 已知全体实数集，集合 （1）若时，求； （2）设，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（1）当时，           …………………………2分     ,则……………………5分     故      …………………………8分 （2），         若，则       …………………………12分   略 22. 如图，已知平面，，是正三角形，AD = DE AB，且 F 是 CD 的中点． ⑴求证：AF //平面 BCE ； ⑵求证：平面 BCE ⊥平面 CDE . 参考答案： （1）取CE中点P，连结FP、BP。     ∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP= 又AB//DE，且AB=   ∴AB//FP，且AB=FP， ∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP.                               又∵AF平面BCE，BP平面BCE，   ∴AF//平面BCE.          ⑵∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD， AF平面ACD， ∴DE⊥AF  又AF⊥CD，CD∩DE=D，                              ∴AF⊥平面CDE.                                       又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。                           又∵BP平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE.  略