湖南省永州市阳山观中学2022年高三数学理联考试题含解析

湖南省永州市阳山观中学2022年高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数, 则的值是 （     ） A．         B．         C．         D． 参考答案： B 2. 已知双曲线C： 的一条新近线与直线垂直，则此双曲线的离心率为(    ) A.         B.          C.          D. 参考答案： B 3. 已知m为直线,为不同的平面，下列命题正确的是 (A)      (B)   (C)    (D) 参考答案： D 略 4. 已知P(x，y)为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2X—y的最大 值是   A．0    B．2    C．2    D．6 参考答案： D【知识点】简单的线性规划问题E5 由作出可行域如图， 由图可得A（a，-a），B（a，a），由S△OAB=?2a?a=4，得a=2． ∴A（2，-2），化目标函数z=2x-y为y=2x-z， ∴当y=2x-z过A点时，z最大，等于2×2-（-2）=6． 【思路点拨】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 5. 计箅的结果等于 A.       B.         C.        D. 参考答案： A 6. 设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是 A．2π          　　　　B. π     　　　　C. 　　　          D. 参考答案： 答案：B 解析：设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，∴ 最小正周期为π，选B. 7. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为（    ）    A．102     B．410     C．614      D．1638 参考答案： B 8. 已知正数a，b满足，则的最大值为（） A. B. 2 C. D. 1 参考答案： A 【分析】 令a＝x﹣y，b＝x+y，（x＞y＞0），由此a2+b2＝ab+1可化为（x﹣y）2+（x+y）2＝（x﹣y）（x+y）+1，即x2+3y2＝1（x＞y），然后再令x＝cosα，，结合三角函数的性质可求. 【详解】令a＝x﹣y，b＝x+y，（x＞y＞0）， 则a2+b2＝ab+1化为（x﹣y）2+（x+y）2＝（x﹣y）（x+y）+1，即x2+3y2＝1（x＞y）， 令x＝cosα，， ∵x＞y＞0， ∴cos0， ∴0， 则z＝（）a+2b＝（1）（x﹣y）+2（x+y）＝（1）x﹣（3）y， ＝（1）cosα﹣（3） ＝2sin（）， ∵0， ∴， 当sin（）＝1时有最大值2， 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9. 设，且为正实数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 参考答案： D 略 10. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（   ）　　 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生． A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上 B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20% C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 参考答案： D 【分析】 结合两图对每一个选项逐一分析得解. 【详解】对于选项A, 互联网行业从业人员中90后占56%，占一半以上，所以该选项正确； 对于选项B, 互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的,超过总人数的20%，所以该选项正确； 对于选项C, 互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的，比80前多，所以该选项正确. 对于选项D, 互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的，80后占总人数的41%，所以互联网行业中从事运营岗位的人数90后不一定比80后多.所以该选项不一定正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查饼状图和条形图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若A、B、C、D四点共线，且满足，，则            . 参考答案： 12. 在中，内角所对的边分别是．已知，，则的值为_______． 参考答案： ． 试题分析：∵代入得，由余弦定理得． 考点：1．正弦定理；2．余弦定理的推论． 13. 已知，则      . 参考答案： 依题意可得,其最小正周期,且故   14. 满足的实数x的取值范围是　　． 参考答案： 【考点】三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用． 【分析】利用行列式展开表达式，求解三角方程即可． 【解答】解：，即，∴． 故答案为：． 15. 设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4+a10=27，则a5=　   　，S9=　   　． 参考答案： 9；81． 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】等差数列的性质可得：a1+a4+a10=27=3a5，解得a5，再利用S9==9a5．即可得出． 【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a4+a10=27=3a5，解得a5=9， ∴S9==9a5=81． 故答案分别为：9；81． 16. 过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点（其中M点在第一象限），若，则直线l的斜率为          ． 参考答案： 设倾斜角为，则   17. 不等式对任意实数恒成立，实数的取值范围为_______. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N． （1）求椭圆C的方程； （2）求的最小值，并求此时圆T的方程； （3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|?|OS|为定值． 参考答案： 考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程． 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）依题意，得a=2，，由此能求出椭圆C的方程． （2）法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），设y1＞0．由于点M在椭圆C上，故．由T（﹣2，0），知=，由此能求出圆T的方程． 法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，由T（﹣2，0），得=，由此能求出圆T的方程． （3）法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…故，由此能够证明|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4为定值． 法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，由此能够证明|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4为定值． 解答： 解：（1）依题意，得a=2，， ∴c=，b==1， 故椭圆C的方程为．… （2）方法一：点M与点N关于x轴对称， 设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0． 由于点M在椭圆C上，所以．     （*）          … 由已知T（﹣2，0），则，， ∴ =（x1+2）2﹣ = =．… 由于﹣2＜x1＜2， 故当时，取得最小值为． 由（*）式，，故， 又点M在圆T上，代入圆的方程得到． 故圆T的方程为：．… 方法二：点M与点N关于x轴对称， 故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ）， 不妨设sinθ＞0，由已知T（﹣2，0）， 则 =（2cosθ+2）2﹣sin2θ =5cos2θ+8cosθ+3 =．… 故当时，取得最小值为， 此时， 又点M在圆T上，代入圆的方程得到． 故圆T的方程为：． … （3）方法一：设P（x0，y0）， 则直线MP的方程为：， 令y=0，得， 同理：，… 故      （**） … 又点M与点P在椭圆上， 故，，… 代入（**）式， 得：． 所以|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4为定值．               … 方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ）， 不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ． 则直线MP的方程为：， 令y=0，得， 同理：，… 故． 所以|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4为定值．… 点评：本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想． 19. 已知直线的极坐标方程为，求点到这条直线的距离． 参考答案： 试题分析：，整理得， ，，在平面直角坐标系到直线， ，故答案为． 考点：1、极坐标的应用；2、点到直线的距离公式． 20. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，梯形ADEF⊥底面ABCD，且． （Ⅰ）证明平面ABF⊥平面CDF； （Ⅱ）平面CDF将多面体ABCDEF分成两部分，求两部分的体积比． 参考答案： （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）． 【分析】 （Ⅰ）取的中点，连接，可得，，即可得平面，从而证明平面平面； （Ⅱ）作于，过作于，作，． 利用多面体的体积，求得多面体的体积，进而求得，得到答案． 【详解】（Ⅰ）由题意，多面体的底面是正方形，可得， 又由梯形底面，梯形底面， 平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为梯形中，， 取的中点，连接，所以，所以， 又因，所以平面， 又由平面，所以平面平面． （Ⅱ）如图所示，作于，过作于，作，． ∵梯形底面，且． ∴面，面， 在中，由可得， 令， 则，， 多面体的体积为：． 由（1）及对称性可得平面， ∵，，∴到面的距离等于到面的距离的一半， 即到面的距离等于， 故． ∴平面将多面体分成两部分，两部分的体积比为． 【点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记空间几何体的线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用几何体的体积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 21. 设命题 若“的充分不必要条件，求实数m的取值范围。 参考答案： 解：由：，解得， ∴“”： ．          由：，解得： ∴“”：                 由“”是“”的充分不必要条件可知：．     　         解得． ∴满足条件的m的取值范围为． 略 22. 某市约有20万住户，为了节约能源，拟出台“阶梯电价”制度，即制定住户月用电量的临界值a．若某住户某月用电量不超过a度，则按平价（即原价）0.5（单位：元/度）计费；若某月用电量超过a度，则超出部分按议价b（单位：元/