辽宁省沈阳市第五十七中学高二数学理上学期期末试题含解析

辽宁省沈阳市第五十七中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设则二次曲线与必有                   （    ）     A．不同的顶点     B．不同的准线     C．相同的焦点     D．相同的离心率 参考答案： C. 解析：当则表实轴为轴的双曲线，     二曲线有相同焦点;当时，且，     表焦点在轴上的椭圆.         与已知椭圆有相同焦点. 2. 若曲线在点处的切线方程是，则（   ） （A）                     (B) (C)                     (D) 参考答案： A 略 3. 已知则在复平面内，Z对应的点位于（    ）   A．第一象限                             B.第二象限   C．第三象限                             D.第四象限 参考答案： C 略 4. 如图，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线的斜率为（　　） A．± B．±2 C． D．± 参考答案： C 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c2=7a2，结合双曲线渐近线方程即可的结论． 【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF1|﹣|AF2|=2a， ∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB| ∴|BF1|=2a 又∵|BF2|﹣|BF1|=2a， ∴|BF2|=|BF1|+2a=4a， ∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120° ∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1|?|BF2|cos120° 即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2， 解得c2=7a2， ∴b=a， ∴双曲线的渐近线的斜率为±， 故选C． 5. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，c=4，cosA=，则b=（　　） A．2 B．2 C．4 D．6 参考答案： D 【考点】正弦定理． 【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解． 【解答】解：∵a=2，c=4，cosA=， ∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：20=b2+16﹣2×， ∴整理可得：3b2﹣16b﹣12=0，解得：b=6或﹣（舍去）． 故选：D． 6. 已知双曲线x2﹣=1的一条渐近线与椭圆+=1相交与点P，若|OP|=2，则椭圆离心率为(     ) A．﹣1 B． C． D． 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】先根据双曲线x2﹣=1得出它的一条渐近线方程为：y=x，其倾斜角为60°，从而得到∠POx=60°又|OP|=2，故可得P点的坐标，将P的坐标代入椭圆方程得a从而求出椭圆的离心率． 【解答】解：根据双曲线x2﹣=1得出它的一条渐近线方程为：y=x，其倾斜角为60°， 设这条渐近线与椭圆+=1相交于点P， 则∠POx=60°且|OP|=2，故可得P点的坐标为（1，）． 代入椭圆方程得：=1，?a=+1或a=﹣1＜2（不合，舍去） ∴椭圆+=1的a=+1，b2=2， ∴c=2， 则椭圆的离心率为e==﹣1． 故选：A． 【点评】本小题主要考查椭圆的简单性质、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题． 7. 已知，，则的取值范围为（      ） A.                              B.         C.                D.   参考答案： C 略 8. 已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的性质． 【专题】计算题；综合题；压轴题． 【分析】四面体ABCD的体积的最大值，AB与CD是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出体积的最大值． 【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h， 则有， 当直径通过AB与CD的中点时，，故． 故选B． 【点评】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力． 9. 已知向量，，夹角的余弦值为，则等于 （A）2      （B）   （C）或   （D）或 参考答案： C 10. 某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：   认为作业多 认为作业不多 总数 喜欢玩电脑游戏 18 9 27 不喜欢玩电脑游戏 8 15 23 总数 26 24 50 根据表中数据得到5.059，因为p(K≥5.024)=0.025, 则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（   ） A．2.5％       B．95％         C．97.5％        D． 不具有相关性 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为　　． 参考答案： 12 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】利用双曲线的定义，确定△APF周长最小时，P的坐标，即可求出△APF周长最小时，该三角形的面积． 【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2 ≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号）， 直线AF′的方程为与x2﹣=1联立可得y2+6y﹣96=0， ∴P的纵坐标为2， ∴△APF周长最小时，该三角形的面积为﹣=12． 故答案为：12． 12. 已知函数的定义域是，，若对任意，则不等式 的解集为          . 参考答案： 试题分析：令函数,则不等式可等价转化为.因,故函数是单调递减函数,而,所以原不等式可化为,故,应填. 考点：导数与函数的单调性等基本性质的综合运用． 【易错点晴】本题先构造函数,再运用题设条件及导数与函数的单调性的关系判断出函数是单调递减函数,然后运用假设算出,进而将不等式从进行等价转化为,最后借助函数的单调性,使得问题简捷巧妙地获解. 13. 函数f（x）=在区间，则双曲线C2的离心率e2的取值范围为　   　． 参考答案： 【考点】KI：圆锥曲线的综合． 【分析】利用椭圆与双曲线的定义列出方程，通过勾股定理求解离心率即可． 【解答】解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF1|+|MF2|=2a1，|MF1|﹣|MF2|=2a2， 所以|MF1|=a1+a2，|MF2|=a1﹣a2． 因为∠F1MF2=90°， 所以|MF1|2+|MF2|2=4c2，即a12+a22=2c2，即（）2+（）2=2， 椭圆的离心率e1∈[，]， 所以∈[，]，则（）2∈[，]． 所以e2∈． 故答案为：． 14. 下面给出了关于复数的三种类比推理： ①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则； ②由向量的性质可以类比复数的性质； ③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义． 其中类比错误的是____________.  参考答案： ② 略 15. 命题使的否定是                参考答案： 略 16. 观察下列等式                    1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …… 照此规律，第个等式为            ． 参考答案： 略 17. 如图所示的流程图，若输入的x=﹣9.5，则输出的结果为　　． 参考答案： 1 考点： 程序框图． 专题： 计算题． 分析： 结合框图，写出前几次循环的结果，判断每一次结果是否满足判断框的条件，直到满足执行Y，输出c． 解答： 解：经过第一次循环得到x=﹣7.5 经过第二次循环得到x=﹣5.5 经过第三次循环得到x=﹣3.5 经过第四次循环得到x=﹣1.5 经过第五次循环得到x=0.5 满足判断框的条件，执行Y，c=1，输出1 故答案为：1 点评： 本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 对任意函数f（x），x∈D，可按如图构造一个数列发生器，数列发生器产生数列{xn}． （1）若定义函数f（x）=，且输入x0=，请写出数列{xn}的所有项； （2）若定义函数f（x）=2x+3，且输入x0=﹣1，求数列{xn}的通项公式． 参考答案： 【考点】程序框图． 【分析】（1）函数f（x）=的定义域D=（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），由此能推导出数列{xn}只有三项x1=，x2=，x3=﹣1． （2）f（x）=2x+3的定义域为R，若x0=﹣1，则x1=1，则xn+1+3=2（xn+3），从而得到数列{xn+3}是首项为4，公比为2的等比数列，由此能求出数列{xn}的通项公式． 【解答】解：（1）函数f（x）=的定义域D=（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），… 把x0=代入可得x1=，把x1=代入可得x2=，把x2=代入可得x3=﹣1， 因为x3=﹣1?D， 所以数列{xn}只有三项：x1=，x2=，x3=﹣1．… （2）f（x）=2x+3的定义域为R，… 若x0=﹣1，则x1=1， 则xn+1=f（xn）=2xn+3， 所以xn+1+3=2（xn+3），… 所以数列{xn+3}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以xn+3=4?2n﹣1=2n+1， 所以xn=2n+1﹣3， 即数列{xn}的通项公式xn=2n+1﹣3．                    … 19. 如图，某水域的两直线型岸边l1，l2 成定角120°，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A相距1公里的D处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC（B，C分别在l1和l2上），围出三角形ABC养殖区，且AB和AC都不超过5公里．设AB=x公里，AC=y公里． （1）将y表示成x的函数，并求其定义域； （2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？ 参考答案： 【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】（1）由S△ABD+S△ACD=S△ABC，将y表示成x的函数，由0＜y≤5，0＜x≤5，求其定义域； （2）S=xysinA=sin120°=（≤x≤5），变形，利用基本不等式，即可得出结论． 【解答】解：（1）由S△ABD+S△ACD=S△ABC，得， 所以x+y=xy，所以y= 又0＜y≤5，0＜x≤5，所以≤x≤5， 所以定义域为{x|≤x≤5}； （2）设△ABC的面积为S，则结合（1）得：S=xysinA=sin120°=（≤x≤5） =（x﹣1）++2≥4，当仅当x﹣1=，x=2时取等号． 故当x=y=2时，面积S取最小值\平方公里．