湖南省娄底市枯古中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析

湖南省娄底市枯古中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（　　） A．8万元 B．10万元 C．12万元 D．15万 参考答案： C 分析： 由频率分布直方图得0.4÷0.1=4，也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额的4倍． 解答： 解：由频率分布直方图得0.4÷0.1=4 ∴11时至12时的销售额为3×4=12 故选C 点评： 本题考查频率分布直方图，关键是注意纵坐标表示频率比组距，属于基础题． 2. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点F重合，且相交于A、B两点，直线AF交抛物线于另一点C，且与双曲线的一条渐近线平行，若，则双曲线的离心率为（    ） A. B. C. 2 D. 3 参考答案： D 【分析】 由题意可得，直线的斜率，设， 表示出直线，联立直线方程与抛物线方程，消去，列出韦达定理，由得，即可得到的关系，求出离心率. 【详解】解：由题意可得，直线的斜率，设， 联立得消去整理得 ， 故选： 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，双曲线的简单几何性质，属于中档题. 3. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像(    ) A.向左平移个长度单位               B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位               D.向右平移个长度单位 参考答案： B 4. （多选题）设函数，若函数有三个零，则实数b可取的值可能是 (    ) A. 0 B. C. 1 D. 2 参考答案： BC 【分析】 根据函数零点的定义转化为有三个根，利用数形结合进行求解即可. 【详解】由题意，函数有三个零点，则函数， 即有三个根， 当时，，则 由得，即，此时为减函数， 由得，即，此时为增函数， 即当时，取得极小值，作出的图象如图： 要使有三个根，则，则实数可取的值可能是，1 故选：BC 【点睛】本题考查利用零点个数求参数范围问题，利用导数研究函数图象，考查数形结合思想，考查转化与化归思想，综合性较强，有一定难度. 5. 已知直线平面，直线，有下面四个命题： ①；  ②；③；④ 其中正确的两个命题是 A.①②      B.③④      C.②④      D.①③ 参考答案： D 6. 各项均为正数的等比数列中，， 则的值为（       ） A．           B．或            C．          D．  参考答案： D 命题意图：本题考查等比数列的运算性质，简单题． 7. 已知方程有一负根且无正根，则实数的取值范围是     A．        B．        C．        D． 参考答案： C 略 8. 如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为         A. 8　　　　 B. 16　    　C. 32　　 　D. 64 参考答案： C  【知识点】由三视图求面积、体积．G2 解析：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥， 其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示： 由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2， 由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R==2， 故外接球的表面积S=4πR2=32π，故选：C 【思路点拨】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积． 9. 在中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，，，， 则 等于(    ) (A)40     (B) -40     (C)20     (D)-20 参考答案： D 略 10. 已知P是边长为2的正边BC上的动点，则            （    ）               A．最大值为8 B．最小值为2       C．是定值6 D．与P的位置有关 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下列命题正确的是            ①.点为函数的一个对称中心；ks5u ③． ④．“”的充要条件是“或（）” 参考答案： 略 12. 设，则不等式的解集为_______． 参考答案： 或， ∴，或． 13. 如图，函数的图象经过矩形的顶点．若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于__________． 参考答案： 【知识点】概率  K3 由图可知阴影部分的面积占整个矩形ABCD的面积的一半，所以随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 【思路点拨】根据概率的定义可由图直接分析出结果. 14. 已知定义在（0，∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）是连续不断的，若方程f'（x）=0无解，且?x∈（0，+∞），f=2017，设a=f（20.5），b=f（log43），c=f（logπ3），则a，b，c的大小关系是　    　． 参考答案： a＞c＞b 【考点】函数的连续性． 【分析】根据题意得出f（x）是单调函数，得出f（x）﹣log2015x是定值； 设t=f（x）﹣log2015x，得f（x）=t+log2015x， 结合f（x）是单调增函数判断a，b，c的大小． 【解答】解：∵方程f′（x）=0无解， ∴f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立， ∴f（x）是单调函数； 由题意得?x∈（0，+∞），f=2017， 又f（x）是定义在（0，+∞）的单调函数， 则f（x）﹣log2015x是定值， 设t=f（x）﹣log2015x， 则f（x）=t+log2015x， ∴f（x）是增函数， 又0＜log43＜logπ3＜1＜20.5， ∴a＞c＞b． 故答案为：a＞c＞b． 　 15. 已知向量，若，则_________ . 参考答案： -3 16. 对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数，若f（x）=lnx+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是　　． 参考答案： （2，2+） 【考点】对数函数的值域与最值． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】由于f（x）在定义域{x|x＞0} 内为单调增函数，利用导数求得g（x）的极大值为：g（e）=2+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于2，因此当2＜k＜2+时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，满足条件，从而求得k的取值范围． 【解答】解：∵f（x）=lnx+2x，定义域为{x|x＞0}， f（x）在定义域为单调增函数， 因此有：f（a）=ka，f（b）=kb， 即：lna+2a=ka，lnb+2b=kb，即a，b为方程lnx+2x=kx的两个不同根． ∴k=2+，令 g（x）=2+，g'（x）=， 当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）递减，当0＜x＜e时，g'（x）＞0，g（x）递增， 可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=2+， 当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于2， 因此当2＜k＜2+ 时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点， 方程 k=2+有两个解． 故所求的k的取值范围为（2，2+）， 故答案为 （2，2+）． 【点评】本题主要考查利用导数求函数极值的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题． 17. 已知向量．若为实数，∥，则的值为    ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分15分）   已知椭圆： （）的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆的方程；  （2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点.     （i）求点的轨迹的方程；     （ii）若为点的轨迹的过点的两条相互垂直的弦，求四边形面积的最小值． 参考答案： （1）∵，∴＝＝＝，∴.            （2分）       ∵直线与圆相切，∴，，∴.       ∴椭圆的方程是.                                （2分） （2）（i）∵          ∴动点到定直线的距离等于它到定点的距离，          ∴动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线．          ∴点的轨迹的方程为：.                                 （4分）     （ii）由题意可知：直线的斜率存在且不为零，           （1分）          令：，          则：          由韦达定理知：          由抛物线定义知：                                     （2分）          而：          同样可得：                        （2分）          则：                    （当且仅当时取“”号）          所以四边形面积的最小值是：8                             （2分）   19. （本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求的极值；     参考答案： （Ⅰ），且． 又，                   在点处的切线方程为：，即．           …………5分                      　　　 （Ⅱ）的定义域为，， 令得． 当时，，是增函数；当时，，是减函数；  所以在处取得极大值，即，无极小值．                   …………12分 20. 已知椭圆E： +=1（a＞）的离心率e=，右焦点F（c，0），过点A（，0）的直线交椭圆E于P，Q两点． （1）求椭圆E的方程； （2）若点P关于x轴的对称点为M，求证：M，F，Q三点共线； （3）当△FPQ面积最大时，求直线PQ的方程． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）由椭圆的离心率公式，计算可得a与c的值，由椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程计算可得答案； （2）根据题意，设直线PQ的方程为y=k（x﹣3），联立直线与椭圆的方程可得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，设出P、Q的坐标，由根与系数的关系的分析求出、的坐标，由向量平行的坐标表示方法，分析可得证明； （3）设直线PQ的方程为x=my+3，联立直线与椭圆的方程，分析有（m2+3）y2+6my+3=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），结合根与系数的关系分析用y1．y2表示出△FPQ的面积，分析可得答案． 【解答】解：（1）由， c=ea=×=2， 则b2=a2﹣c2=2， ∴椭圆E的方程是． （2）证明：由（1）可得A（3，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣3）， 由方程组，得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0， 依题意△=12（2﹣