2022-2023学年上海清流中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年上海清流中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1.  已知三个函数，，的零点依次为 则的大小关系为                          参考答案： C 2. 函数f（x）=excosx在点（0，f（0））处的切线斜率为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D． 参考答案： C 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】先求函数f（x）=excosx的导数，因为函数图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为函数在x=0处的导数，就可求出切线的斜率． 【解答】解：∵f′（x）=excosx﹣exsinx， ∴f′（0）=e0（cos0﹣sin0）=1， ∴函数图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为1． 故选C． 3. 如果原命题的结构是“p且q”的形式，那么否命题的结构形式为（    ） A．?p且?q　　 B．?p或?q      C．?p或q  D．?q或p 参考答案： B 4. 如图，已知直线l：y=k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是（　　） A． B． C． D．2 参考答案： C 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】空间向量及应用． 【分析】直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0），由此推导出|OB|=|AF|，由此能求出点B的坐标，从而能求出k的值． 【解答】解：设抛物线C：y2=4x的准线为l：x=﹣1 直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0） 如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N， 由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|， 点B为AP的中点、连接OB， 则|OB|=|AF|， ∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为， ∴点B的坐标为B（，）， 把B（，）代入直线l：y=k（x+1）（k＞0）， 解得k=． 故选：C． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用． 5. 已知等比数列{an}，满足a1+a2+a3+a4+a5=2，=，则a3=(     ) A．﹣2 B．2 C．±2 D．±4 参考答案： C 【考点】等比数列的通项公式． 【专题】转化思想；整体思想；等差数列与等比数列． 【分析】利用等比数列的性质可得：a1a5=a2a4=，分别通分即可得出． 【解答】解：∵等比数列{an}，满足a1+a2+a3+a4+a5=2，=， ∴++=， ∴++=， ∴2=， 解得a3=±2． 故选：C． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6. 设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，P是直线x=a上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=a上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率． 【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形， ∴|PF2|=|F2F1| ∵P为直线x=a上一点 ∴2（a﹣c）=2c ∴e== 故选：B． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题． 7. 鞋柜里有4双不同的鞋，从中随机取出一只左脚的，一只右脚的，恰好成双的概率为（     ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 求出基本事件总数n，恰好成双包含的基本事件个数m，由概率公式即可得到答案． 【详解】鞋柜里有4双不同的鞋，从中取出一只左脚的，一只右脚的， 基本事件总数n＝＝16， 恰好成双包含的基本事件个数m＝＝4， ∴恰好成双的概率为p＝． 故选：A． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8. 已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点分别是的中点，则四个数量积：①；②；③；④ 中，结果为的共有   A.1个 B.2个              C.3个 D.4个 参考答案： B 9. 已知点P是曲线上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的最小值是(    ) A. 0 B. C. D. 参考答案： D 试题分析：,故选D. 考点：导数的几何意义、基本不等式. 【易错点晴】本题主要考查了导数的几何意义.求函数的切线方程的注意事项(1)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．本题也着重了导数的运算. 10. 设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X，则下列结论正确的是 　　                        （　　） A．E（X）＝0.01                     B．P（X＝k）＝0.01k×0.9910-k C．D（X）＝0.1                           D．P（X＝k）＝0.01k×0.9910-k 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 命题“?x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为　　． 参考答案： [﹣2，2] 【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题． 【分析】根据题意，原命题的否定“?x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需△≤0． 【解答】解：原命题的否定为“?x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题， 则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立， 只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2． 故答案为：[﹣2，2] 【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用． 12. 一元二次不等式的解集为                   . 参考答案： 13. 若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程为                  ． 参考答案： 略 14. 若命题?x∈{2，3}，x2﹣4＞0，则命题￢p为         ． 参考答案： ?x∈{2，3}，x2﹣4≤0 【考点】命题的否定． 【专题】计算题；规律型；转化思想；简易逻辑． 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题?x∈{2，3}，x2﹣4＞0，则命题￢p为：?x∈{2，3}，x2﹣4≤0． 故答案为：?x∈{2，3}，x2﹣4≤0． 【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 15. 如图所示，墙上挂有一边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是    ▲   ． 参考答案： 略 16. 若曲线y=在点P（a，）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是　　． 参考答案： 4 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的截距式方程． 【分析】求导数可得切线的斜率，进而可得切线的方程，可得其截距，由面积为2可得a的方程，解方程可得． 【解答】解：对y=求导数可得y′=， ∴曲线在P（a，）处的切线斜率为k=， ∴切线方程为：y﹣=（x﹣a）， 令x=0，可得y=，即直线的纵截距为， 令y=0，可得x=﹣a，即直线的横截距为﹣a， ∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为： S=|||﹣a|=2，解得a=4 故答案为：4 【点评】本题考查直线的截距，涉及导数法求曲线上某点的切线，属基础题． 17. 抛物线的焦点为F，过准线上一点N作NF的垂线交y轴于点M，若抛物线C上存在点E，满足，则的面积为__________． 参考答案： 由可得为的中点，准线方程，焦点， 不妨设点在第三象限，因为∠为直角，所以， 由抛物线的定义得轴，则可求得， 即，所以. 故答案为：. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分14分）已知：等差数列{an}中，a3 + a4 = 15，a2a5 = 54，公差d < 0.    （1）求数列{an}的通项公式an；    （2）求的最大值及相应的n的值. 参考答案： 答案见课本111页第15题。根据情况给分   略 19. 已知平面向量. （1）求证； （2）若存在不同时为零的实数和，使得向量，且，试求函数解析式； （3）根据（2）的结论，讨论关于的方程的解的情况. 参考答案：   略 20. 已知数列{an}是等差数列,首项，且是与的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设,求数列{bn}的前n项和Sn． 参考答案： (1) (2) 【分析】 （1）设出数列的公差为d,根据等比中项列出等式，得到公差，即可得到通项公式；（2）利用裂项相消求和法可得结果. 【详解】（1）设数列{an}的公差为d， a1=1，且a3+1是a2+1与a4+2的等比中项， 可得（a3+1）2=（a2+1）（a4+2），即（2+2d）2=（2+d）（3+3d）， 解得d=2或d=-1， 当d=-1时，a3+1=0，a3+1是a2+1与a4+2的等比中项矛盾，舍去． ∴d=2，a1=1 数列{an}的通项公式为an=2n-1； （2）， 前n项和Sn=1-+-+…+-=1-=． 21. （本小题满分10分）求下列函数的导数： ⑴                        ⑵   参考答案： 解：⑴ ⑵ 略 22. （1）已知等差数列中，，求的公差； （2）有三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求该数列的公比. 参考答案： （1） 或  或                           （2）设这三个数分别为：                                                       或2  略