2022年湖南省长沙市雒城第三中学高二数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知，命题“若，则.”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
参考答案：
C
【分析】
先写出原命题的逆命题，否命题，再判断真假即可,这里注意的取值,在判断逆否命题的真假时，根据原命题和它的逆否命题具有相同的真假性判断原命题的真假即可.
【详解】解：逆命题:设，若，则a＞b,由可得，能得到a＞b，所以该命题为真命题;
否命题设，若a≤b，则,由及a≤b可以得到，所以该命题为真命是题；
因为原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以只需判断原命题的真假即可，
当时，，所以由a＞b得到，所以原命题为假命题，即它的逆否命题为假命题;故为真命题的有2个.
故选C.
【点睛】本题主要考查四种命题真假性的判断问题，由题意写出原命题的逆命题，否命题并判断命题的真假是解题的关键.
2. 求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
【考点】69：定积分的简单应用．
【分析】画出图象确定所求区域，用定积分即可求解．
【解答】解：如图所示S=S△ABO﹣S曲边梯形ABO，故选：B．
【点评】用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，本题属于基本运算．
3. 在正方体ABCD-ABCD,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、DC的中点，则直线OM( )
A 是AC和MN的公垂线 B 垂直于AC但不垂直于MN
C 垂直于MN，但不垂直于AC D 与AC、MN都不垂直
参考答案：
A
4. 设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a+b＞1；②a+b=2；③a+b＞2；④a2+b2＞2；⑤ab＞1．
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是（ ）
A．②③ B．③ C．①②③ D．③④⑤
参考答案：
B
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】通过特例判断①，②的正误；通过图象判断③的正误；通过反例判断④、⑤的正误；
【解答】解：因为a=0.6，b=0.7，则a+b＞1，所以①不正确．
如果a=b=1则a+b=2，不能得到a，b中至少有一个大于1．所以②不正确；
如图中阴影部分，显然a，b中至少有一个大于1，③正确．
如果a=b=﹣2，a2+b2＞2正确，但是a，b中至少有一个大于1，④不正确；
如果a=b=﹣2，ab＞1正确，但是a，b中至少有一个大于1，⑤不正确；
故只有③正确．
故选B．
5. 若a、b不全为0，必须且只需( )
A. B. a、b中至多有一个不为0
C. a、b中只有一个为0 D. a、b中至少有一个不为0
参考答案：
D
【分析】
本题首先可以通过题意中的“、不全为0”来确定题意中所包含三种情况，然后观察四个选项，看哪个选项恰好包含题意中的三种情况，即可得出结果。
【详解】“、不全为0”包含三种情况，分别是“为0，不为0”、“不为0，为0”、“、都不为0”，故、中至少有一个不为0，故选D。
【点睛】本题的重点在于对“不全为”、“至多有一个”、“只有一个”、“至少有一个”等连接词的意思的判断，能否明确理解上述连接词的词义是解决本题的关系，考查推理能力，是简单题。
6. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知，则C为（ ）
A． B． C. D．
参考答案：
B
7. 曲线在点（1,0）处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
8. 如右图，一艘船上午10：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午11：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距海里.此船的航速是( )．
A.16海里/时 B.18海里/时 C.36海里/时 D.32海里/时
参考答案：
C
9. 如图所示，⊙O的两条弦AD和CB相交于点E，AC和BD的延长线相交于点P，下面结论：
①PA·PC＝PD·PB；②PC·CA＝PB·BD；③CE·CD＝BE·BA；
④PA·CD＝PD·AB.其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
参考答案：
A
10. 在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中，第31项为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
参考答案：
D
【考点】81：数列的概念及简单表示法．
【分析】将数列进行重新分组进行计算即可．
【解答】解：由数列的规律得数列项为n的时候有n个数，
则由1+2+3+…+n≥31得≥31，
即n（n+1）≥62，
则当n=7时，7×8=56≥62不成立，
当n=8时，8×9=72≥62成立，
即第31项为8，
故选：D．
【点评】本题主要考查数列的概念和表示，根据数列寻找规律是解决本题的关键．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若0
0
则，在（0，）上单调递增。
对任意，有
而
即
21. （12分）已知，用分析法证明：.
参考答案：
要证原式成立，只需证明
即证
即证
而，故只需证明
而此式成立，所以原不等式得证。
22. 已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）；在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为.
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长.
参考答案：
（Ⅰ）∵ 曲线的参数方程为（为参数），
∴ 消去参数得到曲线的普通方程为； …………………3分
∵ 直线的极坐标方程为，
∴ 直线的直角坐标方程为； …………………6分
（Ⅱ）∵ 曲线的圆心到直线：的距离，半径，
∴ 直线被曲线截得的弦长为． …………………10分
