湖北省黄石市东源乡中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析

湖北省黄石市东源乡中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中n表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin75°≈0.1305）（　　） A．2.598，3，3.1048 B．2.598，3，3.1056 C．2.578，3，3.1069 D．2.588，3，3.1108 参考答案： B 【考点】程序框图． 【分析】由n的取值分别为6，12，24，代入即可分别求得S． 【解答】解：当n=6时，S=×6×sin60°=2.598，输出S=2.598， 6＜24，继续循环，当n=12时，S=×12×sin30°=3，输出S=3， 12＜24，继续循环，当n=24时，S=×24×sin15°=3.1056，输出S=3.1056， 24=24，结束， ∴故选B． 【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题． 2. 在复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为（    ） A．1+i B．1－i C．－1－i D．－1+i 参考答案： B 复数，复数的共轭复数是， 就是复数所对应的点关于实轴对称的点为对应的复数，故选B． 3. 设椭圆的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则（    ） A．         B．       C.        D． 参考答案： A 4. 如下图，点分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线与是异面直线的一个图是（  ） 参考答案： C 略 5. 函数f（x）=sin（2x+）则下列结论正确的是(     ) A．f（x）图象关于直线x=对称 B．f（x）图象关于（，0）对称 C．f（x）图象向左平移个单位，得到一个偶函数图象 D．f（x）在（0，）上为增函数 参考答案： C 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：分别根据函数的对称性，单调性和周期性的性质进行判断即可得到结论． 解答： 解：A．f（）=sin（2×+）=sinπ=0，不是最值，∴f（x）的图象关于直线x=对称错误； B．f（）=sin（2×+）=cos≠0，∴f（x）的图象关于关于点（，0）对称，错误； C．∵f（x）图象向左平移个单位，得到函数g（x）=sin=cos2x的图象，故C正确； D．由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z．得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z． 取k=0，可知f（x）在上为增函数，x超过时递减，∴选项D不正确． 故选：C． 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握函数的对称性，周期性，单调性的性质的判断方法，属于基础题． 6. 已知i为虚数单位，复数z=，z与共轭，则等于（　　） A．1 B．2 C． D．0 参考答案： B 【考点】复数代数形式的混合运算． 【分析】化简复数z，求出共轭复数，再计算的值． 【解答】解：∵复数z===1﹣i， ∴=1+i， ∴=|（1﹣i）（1+i）|=2． 故选：B． 7. 已知双曲线C：的右顶点为A，右焦点为F，O是坐标系原点，过A且与x轴垂直的直线交双曲线的渐近线于M，N两点，若四边形OMFN是菱形，则C的离心率为（   ） A. 2 B. C. D. 参考答案： A 【分析】 求出的坐标，根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得，进而求出双曲线的离心率. 【详解】解：双曲线：的右顶点为，右焦点为，是坐标系原点，过且与轴垂直的直线交双曲线的渐近线于，两点，若四边形是菱形， 可得，可得． 故选：A． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，利用平面几何的性质是解题的关键. 8. 已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x 等于(　　) A.   B. C. D. 参考答案： C 9. 若，则“”是的“”（   ） A．必要不充分条件  B．充分不必要条件  C．充要条件        D．既非充分又非必要条件 参考答案： A 10. 如果椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是（　　） A．12 B．14 C．16 D．20 参考答案： B 【考点】椭圆的定义． 【专题】计算题． 【分析】根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，，根据椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，可求点P到另一个焦点F2的距离 【解答】解：根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a， ∵椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6 ∴6+|PF2|=20 ∴|PF2|=14 故选B． 【点评】本题的考点是椭圆的定义，主要考查椭圆定义的运用，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若，则=_________________. 参考答案： 7 12. 数列满足且对任意的，都有，则的前项和_____. 参考答案： 13. 过原点作曲线的切线，则此切线方程为      参考答案： 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程 B12 【答案解析】y=ex 解析：解：y′=ex 设切点的坐标为（x0，ex0），切线的斜率为k， 则k=ex0，故切线方程为y﹣ex0=ex0（x﹣x0） 又切线过原点，∴﹣ex0=ex0（﹣x0），∴x0=1，y0=e，k=e． 则切线方程为y=ex 故答案为y=ex． 【思路点拨】欲求切点的坐标，先设切点的坐标为（ x0，ex0），再求出在点切点（ x0，ex0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=x0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用切线过原点即可解决问题 14. 以下命题正确的是         。     ①把函数的图象向右平移个单位，得到的图象；     ②一平面内两条曲线的方程分别是，它们的交点是，       则方程表示的曲线经过点；     ③为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一       点，取得的点到距离大小1的概率为；     ④若等差数列前项和为，则三点共线。 参考答案： ①②④ 略 15. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则?的最大值为　　． 参考答案： 【考点】M6：空间向量的数量积运算． 【分析】连接PO，可得?==﹣，当取得最大值时，即可得出?取得最大值． 【解答】解：连接PO，可得?==++=﹣， 当取得最大值时， ?取得最大值为=． 故答案为：． 【点评】本题考查了数量积运算、正方体及其内切球的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16. 在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点． 对于以下结论：①符合的点的轨迹围成的图形的面积为2； ②设为直线上任意一点，则的最小值为； ③设为直线上的任意一点，则“使最小的点有无数个”的必要不充分条件是“”；其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号) 参考答案： ①③ 17. 已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为，则此圆锥的体积为________． 参考答案： 16 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式在时恒成立，求实数a的取值范围. 参考答案： （1） （2） 【分析】 （1）当时，分段讨论得出函数的解析式,再分段求解不等式的解集,将所求的解集再求并集可得所求的解集;   （2）由题知当时，恒成立，等价于当时，恒成立，分 时，和当时，两种情况分别讨论可得出实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，， 当时，，得； 当时，恒成立； 当时，，得. 综上，不等式的解集为. （2）由题知当时，恒成立， 等价于当时，恒成立， 当时，，不满足条件； 当时，由， 得，，， 实数a的取值范围为. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,绝对值不等式的恒成立问题,解决的常用方法是分段讨论得出分段函数,分段求解,属于基础题. 19. 直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为. （1）求圆C的直角坐标方程； （2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(2,1)，求的最小值. 参考答案： （1）由，得，化为直角坐标方程为， 即. （2）将的参数方程带入圆的直角坐标方程，得， 因为，可设，是上述方程的两根，所以，， 又因为为直线所过定点， ∴ . 所以的最小值为. 20. （文）（本题满分12分）在空间几何体中，平面， 平面平面，，． （1）求证：平面； （2）如果平面，求证：． 参考答案： （I）如图，取中点，连， 由得，∵平面⊥平面， ∴平面，又∵⊥平面， ∴∥，   又∵平面， ∴∥平面． （2）连接，则． ∵平面⊥平面，面∩面， ∴⊥平面． 又∵，∴∥． 又由（1）知，四边形是矩形， ∴，． ∴， 而，则． 21. （本小题满分12分） 设函数 （I）设，讨论函数F（x）的单调性； （Ⅱ）过两点的直线的斜率为，求证： 参考答案： (Ⅰ)解：，所以， 函数的定义域为，而,                 ………2分 ①当时，恒有，函数在上是增函数； ②当时，令，得，解得； 令，得，解得. 综上，当时，函数在上是增函数； 当时，函数在是增函数，在上是减函数．   ………5分 (Ⅱ)证明：， 因为，所以；而，所以，所以； 要证，即证，令，则，则只要证，  设，则，故在上是增函数. ………10分 所以当时，，即成立． 综上可知成立，得证．                                       ………12分 22. （本小题满分14分） 设函数 （1）求函数在点处的切线方程； （2）设讨论函数的单调性； （3）设函数，是否同时存在实数和，使得对每一个，直线与曲线都有公共点？若存在，求出最小的实数和最大的实数；若不存在，说明理由. 参考答案： 解：（I）＝＋1（＞0），              则函数在点处切线的斜率为＝2，， ∴所求切线方程为，即．     （II） ＝， 令＝0，则＝或， ①当0＜＜2，即时，令＞0，解得0＜＜或＞； 令＜0，解得＜＜；源:] ∴在（0，），（，＋）上单调递增，在（，）单调递减． ②当＝2，即时，≥0恒成立，∴在（0，＋）上单调递增． ③当＞2，即时，令＞0，解得0＜＜或＞； 令＜0，解得＜＜； 在（0，），（，＋）上单调递增，在（，）单调递减． （III），令＝0，则＝1， 当在区间内变化时，的变化情况如下表：   － 0 +   递减 极小值1 递增 2 又，∴函数的值域为[1，2]．  据此可得，若，则对每一个，直线与曲线都有公共点；并且对每一个，直线与