湖南省常德市桃源县漆河镇中学高三数学理模拟试卷含解析

湖南省常德市桃源县漆河镇中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数f(x)是连续可导函数，并且（  ▲  ） A． B． C． D． 参考答案： C 略 2. 定义某种运算,运算原理如图所示， 则式子的值为 ( A).－3  　(B).－4      (C).－8     (D). 0 参考答案： D 由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数 ， 所以，， ，故选. 3. 已知数列是首项为2，公差为1的等差数列，是首项为1，公比为2的等比数列，则数列前10项的和等于（    ） A．511           B．512            C．1023           D．1033 参考答案： D 4. “” 是“方程表示椭圆”的 A. 充分而不必要条件          B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件              D. 既不充分也不必要条件 参考答案： A 5. 已知的展开式的各项系数之和为32，则展开式中的系数为（   ）    A.        B.       C.        D. 参考答案： D 略 6. 复数的虚部是 A． B．2 C． D． 参考答案： C 依题意，故虚部为.所以选C.   7. 已知直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，与其准线交于点C.若点F是AC的中点，则线段BC的长为（  ) A. B. 3 C. D. 6 参考答案： C 【分析】 由题意结合抛物线的定义和性质首先求得直线AB的方程，然后联立直线方程与抛物线方程可得点B的坐标，进一步整理计算即可求得最终结果. 【详解】如图，A在准线上的射影为E，B在准线上的射影为H， 由抛物线y2=8x，得焦点F（2，0）， ∵点F是的AC中点，∴AE=2p=8，则AF=8， ∴A点横坐标为6，代入抛物线方程，可得. ，则AF所在直线方程为. 联立方程：可得：， ，则. 故. 故选：C. 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，抛物线的几何性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8. 双曲线 的一条渐近线与直线     X+2y +1 =0垂直， 则双曲线C的离心率为     (A)          (B)          ( C)          (D)  参考答案： 【知识点】双曲线的简单性质  H6 C 解析：∵双曲线的焦点在x轴上，∴其渐近线方程为y=x，∵渐近线与直线x+2y+1=0垂直，渐近线的斜率为2， ∴=2,  即双曲线的离心率 故答案为C 【思路点拨】由双曲线的渐近线斜率即可计算该双曲线的离心率，本题中已知渐近线与直线x+2y+1=0垂直，而双曲线的渐近线斜率为，故=2，再利用c2=a2+b2，e=即可得双曲线的离心率 9. 设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的部分图像为 参考答案： B 略 10. 设函数的导数f′(x)＝2x＋1,则数列n∈(N*)的前n项和(  ) A.         B.　      　C.         D. 参考答案： C 函数的导数为，所以，所以，，即，所以数列的前n项和为，选C. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 对于三次函数给出定义： 设是函数的导数，是函数的导数， 若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数，请你根据上面探究结果，计算=_____________. 参考答案： 2012 略 12. 如图，已知与圆相切于点，半径，交点，若圆的半径为3，，则的长度____________． 参考答案：   略 13. 春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案． 参考答案： 28 14. 已知△的内角、、所对的边为、、，则“”是“” 的 条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）． 参考答案： 充分非必要 试题分析：由余弦定理可知，所以，故满足充分性，取三角形的边长为，令，，但是， ，所以不满足必要性，故为充分非必要条件. 考点：余弦定理，重要不等式，充要条件的判断. 15. 《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方×高），则由此可推得圆周率π的取值为    ▲       . 参考答案： 3 由题意圆柱体的体积（底面圆的周长的平方高） ，解得   16. 集合，，则A∩B中元素的个数是______． 参考答案： 1 【分析】 对中元素逐个检验后可得中元素的个数. 【详解】中仅有，故中元素的个数为1，填1 . 【点睛】本题考查集合的交，属于基础题. 17. 设满足约束条件，则的最大值为       . 参考答案： 4 分析：由题意作出其平面区域，当x，y都取到最大值时z有最大值，代入即可． 详解：由题意作出其平面区域，由解得A（1，2）， 因为z=2x+y,所以y=-2x+z, 所以直线的纵截距为z, 所以直线的纵截距最大时，z最大. 当直线y=-2x+z经过可行域A时，纵截距取得最大值，此时z最大.此时x=1，y=2时， z=2x+y有最大值2×1+2=4， 故答案为：4   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设，其中a，b 均为正实数，证明：h． 参考答案： 证明：依题意，， 由不等式的性质，两式相乘得， 因为， 所以（当且仅当时等号成立），即证．   19. 已知a≥2，函数F（x）=min{x3﹣x，a（x+1）}，其中min{p，q}= ． （1）若a=2，求F（x）的单调递减区间； （2）求函数F（x）在[﹣1，1]上的最大值． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）令f（x）=x3﹣x，g（x）=a（x+1）=2（x+1），画出函数f（x），g（x）的图象，结合图象求出F（x）的递减区间即可； （2）根据a的范围，在[﹣1，1]上，F（x）=f（x）=x3﹣x，求出F（x）的最大值即可． 【解答】解：（1）令f（x）=x3﹣x，g（x）=a（x+1）=2（x+1）， 令f（x）=g（x），解得：x=﹣1或x=2， 画出函数f（x），g（x）的图象，如图示： ， 显然x≤1时，f（x）≤g（x），x＞1时，f（x）＞g（x）， 故F（x）=， 故F（x）在在（﹣，）递减； （2）由（1）得：a≥2时，F（x）=， 而＞2， 故在[﹣1，1]上，F（x）=f（x）=x3﹣x， 而f（x）在[﹣1，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，1]递增， 故F（x）的最大值是F（1）=0． 20. 设椭圆的左右焦点分别为、，是椭圆上的一点，，坐标原点到直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上的一点，,连接QN的直线交轴于点，若，求直线的斜率． 参考答案： 解：（1）由题设知 由于，则有，    ……1分 所以点的坐标为      ……  2分 故所在直线方程为     ……3分 所以坐标原点到直线的距离为    ……4分 又，所以  解得：    ……5分 所求椭圆的方程为               …… 6分 （2）由题意可知直线的斜率存在，设直线斜率为直线的方程为，则有 设，由于、N、三点共线，且    … …  8分 根据题意得,                     ……9分 解得或                                ……11分 又在椭圆上，故或      ……12分 解得,综上，直线的斜率为或.               …… 13分 略 21. （本小题满分12分）     将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落过程中它将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是． （Ⅰ）求小球落入袋中的概率； （Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，求恰好有3个球落入袋中的概率． 参考答案： 解：（Ⅰ）当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下时小球才会落入袋中，故．                                          ………5分 （Ⅱ）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件与事件 为对立事件，从而．                    ………9分 于是恰有3个小球都落入袋中的概率．         ………12分 略 22. 甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立． （1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率； （2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望． 参考答案： 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（1）甲队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率； （2）X的取值可能为0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可． 【解答】解：（1）甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜 ①3：0，概率为P1=（）3=； ②3：1，概率为P2=C（）2×（1﹣）×=； ③3：2，概率为P3=C（）2×（1﹣）2×= ∴甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率：． （2）乙队得分X，则X的取值可能为0，1，2，3． 由（1）知P（X=0）=P1+P2=； P（X=1）=P3=； P（X=2）=C（1﹣）2×（）2×=； P（X=3）=（1﹣）3+C（1﹣）2×（）×=； 则X的分布列为 X 3 2 1 0 P E（X）=3×+2×+1×+0×=．