2022年湖南省郴州市苏仙区廖家湾中学高二数学理测试题含解析

2022年湖南省郴州市苏仙区廖家湾中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若直线与直线平行，则实数的值为（    ） A．             B．1                C．1或              D．    参考答案： A 2. 已知△ABC的周长为若△ABC的面积为则角C的度数为                （    ）        A．30°                   B．45°                   C．60°                   D．90° 参考答案： C 3. 以下给出的是计算的值的一个程序框图，如右图所示，其中判断框内应填入的条件是（    ） A．  B．   C．   D． 参考答案： A 4. （   ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 函数的图象是以为圆心，以1为半径的上半圆，作出直线，则图中阴影部分的面积为题目所要求的定积分. 【详解】由题意，，如图： 的大小相当于是以为圆心，以1为半径的圆的面积的， 故其值为，， 所以， 所以本题选D. 【点睛】本题考查求定积分，求解本题关键是根据定积分的运算性质将其值分为两部分来求，其中一部分要借用其几何意义求值，在求定积分时要注意灵活选用方法，求定积分的方法主要有两种，一种是几何法，借助相关的几何图形，一种是定义法，求出其原函数，本题两种方法都涉及到了，由定积分的形式分析，求解它的值得分为两部分来求，和. 5. 不等式x2﹣2x＜0的解集是（　　） A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜0} C．{x|x＜0，或x＞2} D．{x|x＜﹣2，或x＞0} 参考答案： A 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】先求相应二次方程x2﹣2x=0的两根，根据二次函数y=x2﹣2x的图象即可写出不等式的解集． 【解答】解：方程x2﹣2x=0的两根为0，2， 且函数y=x2﹣2x的图象开口向上， 所以不等式x2﹣2x＜0的解集为（0，2）． 故选：A． 6. 若则向量的关系是（      ） A．平行          B．重合           C．垂直           D．不确定 参考答案： C 7. 若则“”是“”的(　　) A．充分而不必要条件           B．必要而不充分条件 C．充要条件                   D．既不充分又不必要条件 参考答案： A 8. 为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算，根据这一数据分析，下列说法正确的是(　　)        A．有的人认为该栏目优秀                 B．有的人认为该栏目是否优秀与改革有关系        C．有的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系        D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系 参考答案： D 略 9. 若x，y满足约束条件，则的最小值是（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 试题分析：约束条件，表示的可行域如图，解得，解得，解得，把、、分别代入，可得的最小值是，故选A． 考点：简单的线性规划的应用． 【方法点晴】1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数截距型：形如.求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值，间接求出的最值．注意：转化的等价性及几何意义． 10. 已知中，若，则是 A.直角三角形       B．等腰三角形 C.等腰或直角三角形      D.等腰直角三角形 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （x2+x+2）5的展开式中，x7的系数为　　． 参考答案： 50 【考点】二项式定理的应用． 【分析】根据（x2+x+2）5 的展开式的含x7的项由两类构成，然后求出各类的含x7的项，再将各个项加起来，即可得到所求的项的系数． 【解答】解：（x2+x+2）5 的展开式的含x7的项由5个括号中的两个括号出x2，三个括号出x， 或三个括号出x2，一个括号出x，一个括号出2， 故含x7的项是C52 （x2）2 x3 +C53（x2）3 C21 ?x?2=10x7 +40x7=50x7， 故含x7的项的系数是50， 故答案为：50． 12. 长方体中，AB=12，=5，与面的距离为_________________； 参考答案： 13. 已知实数满足下列两个条件： ①关于的方程有解；②代数式有意义。则使得指数函数为减函数的概率为_________． 参考答案： 略 14. 已知，则 ________. 参考答案： -1 15. 某市有大型超市100家、中型超市200家、小型超市700家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为90的样本，应抽取小型超市         家. 参考答案： 63;        16. 已知定义在R上的函数,其图象为连续不断的曲线，且满足, ,　若,则               参考答案： 略 17. 函数的最大值是            ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知复数z=﹣i，其共轭复数为，求 （1）复数的模； （2）的值． 参考答案： 【考点】A7：复数代数形式的混合运算；A8：复数求模． 【分析】（1）把复数z=﹣i代入，化简后由复数的模长公式可得； （2）由题意可得=﹣，代入要求的式子化简即可． 【解答】解：（1）∵复数z=﹣i， ∴== ==﹣， ∴|z|==1； （2）由题意可得=﹣， ∴=（﹣）2=﹣+2×i=． 19. 已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R． （Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+； （Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极小值； （Ⅱ）f（x）在（0，e]上的最小值为1，令h（x）=g（x））+，求导函数，确定函数的单调性与最大值，即可证得结论； （Ⅲ）假设存在实数a，使f（x）的最小值是3，求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用f（x）的最小值是3，即可求解． 【解答】（Ⅰ）解：f（x）=x﹣lnx，f′（x）= … ∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减 当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增   … ∴f（x）的极小值为f（1）=1                   … （Ⅱ）证明：∵f（x）的极小值为1，即f（x）在（0，e]上的最小值为1， ∴f（x）＞0，f（x）min=1… 令h（x）=g（x））+=+，，… 当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增  … ∴h（x）max=h（e）=＜=1=|f（x）|min     … ∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；… （Ⅲ）解：假设存在实数a，使f（x）的最小值是3，f′（x）= ①当a≤0时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去），所以，此时f（x）无最小值．… ②当0＜＜e时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，e]上单调递增，f（x）min=f（）=1+lna=3，∴a=e2，满足条件．… ③当时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0， 所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去）， 所以，此时f（x）无最小值．… 综上，存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3．… 20. （本小题满分i2分）     已知数列 的前n项和为 ，     (1)求 ；     (2)猜想 的前n项和 的公式，并用数学归纳法证明． 参考答案： (1) ; (2)见解析 21. 已知直线与圆相交于点和点。 （1）求圆心所在的直线方程； （2）若圆的半径为1，求圆的方程。 参考答案： 略 22. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象（14分） （1）写出函数的增区间；  （2）写出函数的解析式；   （3）若函数，求函数的最小值. 参考答案： （1）在区间， 上单调递增. （2）设，则. 函数是定义在上的偶函数，且当时， （3），对称轴方程为：， 当时，为最小； 当时，为最小； 当时，为最小. 综上有：的最小值为