河北省承德市县第一中学高二数学理下学期期末试卷含解析

河北省承德市县第一中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知椭圆的焦点在轴上，则的范围是（    ） A.       B.        C.         D. 参考答案： C 2. 如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】6A：函数的单调性与导数的关系． 【分析】由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负． 【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负， 故选A． 3. 曲线（    ）        A．           B．          C．         D． 参考答案： B 略 4. 复数对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 参考答案： A 【分析】 化简复数，所以复数对应的点，即可得到答案. 【详解】由题意，复数，所以复数对应的点，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5. 设点P对应的复数为－3+3i，以原点为极点，实轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（ ） A. B. C. D. 参考答案： A 分析：先求出点P的直角坐标，P到原点的距离r，根据点P的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P的极坐标． 详解：点P对应的复数为，则点P的直角坐标为，点P到原点的距离， 且点P第二象限的平分线上，故极角等于，故点P的极坐标为， 故选：A． 点睛：本题考查把直角坐标化为极坐标的方法，复数与复平面内对应点间的关系，求点P的极角是解题的难点． 6. 设，则方程不能表示的曲线为（   ）   椭圆               双曲线              抛物线               圆 参考答案： C 略 7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=，a=2，b=1，则c等于（　　） A． B． C． D．1 参考答案： B 【考点】余弦定理． 【分析】利用余弦定理列出关系式，将cosC，a与b的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值． 【解答】解：∵C=，a=2，b=1， ∴c2=a2+b2﹣2abcosC=4+1﹣2=3， 又c为三角形的边长， 则c=． 故选B 8. 抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（   ） A.       B.        C.         D. 参考答案： A 略 9. 已知数列的前项和为，且，，可归纳猜想出的表达式为（     ） A． B． C． D． 参考答案： A 略 10. 过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（　　） A．3x﹣2y=0 B．x+y﹣5=0 C．3x﹣2y=0或x+y﹣5=0 D．2x﹣3y=0或x+y﹣5=0 参考答案： C 【考点】直线的截距式方程． 【专题】计算题；分类讨论． 【分析】分两种情况：当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为y=kx，把P的坐标代入即可求出k的值，得到直线l的方程；当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线l的方程为x+y=a，把P的坐标代入即可求出a的值，得到直线l的方程． 【解答】解：①当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为：y=kx 把点P（2，3）代入方程，得：3=2k，即 所以直线l的方程为：3x﹣2y=0； ②当直线在两坐标轴上的截距都不为0时， 设直线l的方程为： 把点P（2，3）代入方程，得：，即a=5 所以直线l的方程为：x+y﹣5=0． 故选C 【点评】本题题考查学生会利用待定系数法求直线的解析式，直线方程的截距式的应用，不要漏掉截距为0的情况的考虑，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知=2， =3， =4，…若=6，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t=　    　． 参考答案： 41 【考点】类比推理． 【分析】观察所给的等式，等号右边是，，…第n个应该是，左边的式子，写出结果． 【解答】解：观察下列等式 =2， =3， =4，… 照此规律，第5个等式中：a=6，t=a2﹣1=35 a+t=41． 故答案为：41． 12. .过双曲线：的右顶点A作斜率为1的直线，分别与两渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为          . 参考答案： 或  略 13. 若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是_________ 参考答案： 或。 14. 若展开式中各项系数和为32，其中，该展开式中含项的系数为_____. 参考答案： 10 15. 从4个男生3个女生中挑选3人参加智力竞赛，要求既有男生又有女生的选法共有___▲___种． （用数字作答） 参考答案： 30 这人中既有男生又有女生，包括男女和男女两种情况：若人中有男女，则不同的选法共有种；若人中男女，则不同的选法共有种，根据分类计数原理，既有男生又有女生的选法共有种，故答案为．   16. 不等式x（x﹣1）＜2的解集为　　． 参考答案： （﹣1，2） 【考点】其他不等式的解法． 【分析】根据一元二次不等式的解法解不等式即可． 【解答】解：∵x（x﹣1）＜2， ∴x2﹣x﹣2＜0， 即（x﹣2）（x+1）＜0， ∴﹣1＜x＜2， 即不等式的解集为（﹣1，2）． 故答案为：（﹣1，2）． 17. 在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为　　． 参考答案： 【考点】正弦定理；余弦定理． 【专题】计算题． 【分析】由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，再由余弦定理求得cosC的值． 【解答】解：在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得， 可设其三边分别为2k，3k，4k，由余弦定理可得 16k2=4k2+9k2﹣12k2cosC， 解方程可得cosC=， 故答案为：． 【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，设出其三边分别为2k，3k，4k，是解题的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为的菱形，又，且PD=CD， 点M、N分别是棱AD、PC的中点．    （1）证明：DN//平面PMB；    （2）证明：平面PMB平面PAD；    （3）求点A到平面PMB的距离．           参考答案： 解：（1）证明：取PB中点Q，连结MQ、NQ，因为 M、N分别是棱AD、PC中点，所以         QN//BC//MD，且QN=MD，于是DN//MQ. .…       …………………4分    （2） 又因为底面ABCD是、边长为的菱形，且M为AD中点， 所以.又所以.   ……8分    （3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离. 过点D作于H，由（2）平面PMB平面PAD， 所以.        故DH是点D到平面PMB的距离. 所以点A到平面PMB的距离为.………12分   19. 已知F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，△EFF1的周长为8，且椭圆C与圆x2+y2=3相切． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x=4于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证k?k′为定值． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出4a=8，方程组只有一组解，利用根的判别式求出=3，由此能求出椭圆C的方程． （Ⅱ）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x﹣1），设点E（x1，y1），点F（x2，y2），将直线l方程y=k（x﹣1）代入椭圆C：，得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用已知条件推导出直线PF2的斜率为k′=﹣，从而能够证明k?k′为定值． 【解答】（Ⅰ）解：∵过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点， △EFF1的周长为8，且椭圆C与圆x2+y2=3相切， ∴4a=8，解得a=2， ∴方程组只有一组解，即方程（b2﹣4）x2+12﹣4b2=0只有一个实数根， ∴△=0﹣4（b2﹣4）（12﹣4b2）=0， 解得=3或b2=4（舍）， ∴椭圆C的方程为． （Ⅱ）证明：设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x﹣1）， 设点E（x1，y1），点F（x2，y2）…5分 将直线l方程y=k（x﹣1）代入椭圆C：， 整理得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，…6分 ∵点F2在椭圆内，∴直线l和椭圆都相交，△＞0恒成立， 且，，…7分 直线AE的方程为：，直线AF的方程为：， 令x=4，得点M（4，2），N（4， 2）， ∴点P的坐标（4，（）），…9分 直线PF2的斜率为k′==（） =?=?，…11分 将，代入上式得： =﹣， ∴，∴k?k′为定值． 20. 益阳市箴言中学学校团委为三个年级提供了“甲、乙、丙、丁”学雷锋的四个不同活动内容，每个年级任选其中一个.求:   (1)三个年级选择3个不同活动内容的概率；   (2)恰有2个活动内容被选择的概率；   (3选择甲活动内容的年级个数ξ的分布列     参考答案： (1）                       (2）   ξ 0 1 2 3   P                (3)   略 21. 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.圆C1、直线C2的极坐标方程分别为，. （1）求C1与C2交点的极坐标； （2） 设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t为参数且），求a，b的值. 参考答案： 解：（1）圆的直角坐标方程为. 直线的直角坐标方程为 解得，. 所以与的交点极坐标为. （2）由（1）可得，点与点的直角坐标分别为. 故直线的直角坐标方程为. 由参数方程可得. 所以解得.   22. 试做一个上端开口的圆柱形容器，它的净容积为V，壁厚为a(包括侧壁和底部)，其中V和a均为常数。问容器内壁半径为多少时，所用的材料最少?   参考答案：   略