湖南省岳阳市临湘求知学校高三数学理月考试卷含解析

湖南省岳阳市临湘求知学校高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数在区间上至少取得个最大值，则正整数的最小值是（    ） (A)         （B）          (C)          (D) 参考答案： C 略 2. 已知，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件                  B．必要不充分条件 C．充要条件                        D．既不充分也不必要条件  参考答案： C 3. 已知变量满足则2x+y的最大值是(  ) A．3         B．4         C．5         D．6 参考答案： D 4. 已知函数和函数在区间上的图象交于，，三点，则的面积是（   ） A．         B．       C.         D． 参考答案： C 5. .若曲线在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则 (   ) A．64 B．32 C．16 D．8 参考答案： A   略 6. 若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解, 则a的取值范围是        (　  　) A.   B. C.   D. 参考答案： A 略 7. 半径为r的球面上有A，B，C，D四点，且直线AB，AC，AD两两垂直，若 的面积之和=72，则r的最小值为（    ）        A．4                            B．6                            C．8                            D．10   参考答案： B 略 8. 过圆P：的圆心P的直线与抛物线C：相交于A，B两点，且，则点A到圆P上任意一点的距离的最大值为（   ） A．                B．2               C．           D． 参考答案： C 由题意可知：，设， 不妨设点A位于第一象限，如图所示， 则：，据此可得方程组： ，解方程可得：，则， 故点A 到圆P 上任意一点的距离的最大值为. 本题选择C选项.   9. 已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），若方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（　　） A．（，] B．（，] C．（，] D．（，] 参考答案： B 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】化简f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间． 【解答】解：f（x）=2sin（ωx﹣）， 作出f（x）的函数图象如图所示： 令2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣+2kπ，或ωx﹣=+2kπ， ∴x=+，或x=+，k?Z， 设直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B， 则xA=，xB=， ∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根， ∴xA＜π≤xB， 即＜π≤，解得． 故选B． 【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题． 10. 点M为圆P内不同于圆心的定点，过点M作圆Q与圆P相切，则圆心Q的轨迹是（　　） A．圆 B．椭圆 C．圆或线段 D．线段 参考答案： B 　考点： 轨迹方程． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 当点M在定圆P内时（非圆心），|MP|+|MQ|=r为定值，可得轨迹． 解答： 解：当点M在定圆P内时（非圆心），|MP|+|MQ|=r为定值，轨迹为椭圆． 故选：B． 点评： 本题主要考查了轨迹问题，解题的关键是利用了椭圆的定义求得轨迹． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的总数为         ． 参考答案： 30 考点：计数原理的应用． 专题：计算题． 分析：由题意知本题可心先做出所有情况，再减支渠不合题意的结果，用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，顺序有种，而甲、乙被分在同一个班的有种，两个相减得到结果． 解答： 解：∵每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班， 用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是， 顺序有种，而甲、乙被分在同一个班的有种， ∴不同的分法的总数为： =30． 故答案为：30． 点评：本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础题，这种题目是排列组合中经常出现的一个问题． 12. 下表给出一个“直角三角形数阵”       …… 满足每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为等于         参考答案： 略 13. 设，则等于         ． 参考答案： ，所以 ，故答案为． 14. 在等比数列中，，公比，若前项和，则的值为        ． 参考答案： 7    略 15. 设，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为             . 参考答案： 根据定积分的几何意义知，所以不等式可以化为，即恒成立，所以恒成立，又因为，所以的最小值为所以的取值范围为 16. 如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O 于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= 　　　 ． 参考答案： 略 17. 观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49   照此规律，第个等式为_______. 参考答案： 试题分析：观察这些等式，第一个式子左边1个数，从1开始；第二个式子3个数相加，从2开始；第三个式子5个数相加，从3开始；第个式子有个数相加，从开始；等式的右边为前边个数的中间数的平方，故第个等式为. 考点：归纳推理的应用. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 圆的方程为x2+y2－6x－8y＝0，过坐标原点作长为8的弦，求弦所在的直线方程。 参考答案： 19. 已知函数f（x）=ex﹣ln（x+m） （Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；根据实际问题选择函数类型． 【专题】压轴题；导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，因为x=0是函数f（x）的极值点，由极值点处的导数等于0求出m的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间； （Ⅱ）证明当m≤2时，f（x）＞0，转化为证明当m=2时f（x）＞0．求出当m=2时函数的导函数，可知导函数在（﹣2，+∞）上为增函数，并进一步得到导函数在（﹣1，0）上有唯一零点x0，则当x=x0时函数取得最小值，借助于x0是导函数的零点证出f（x0）＞0，从而结论得证． 【解答】（Ⅰ）解：∵，x=0是f（x）的极值点，∴，解得m=1． 所以函数f（x）=ex﹣ln（x+1），其定义域为（﹣1，+∞）． ∵． 设g（x）=ex（x+1）﹣1，则g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上为增函数， 又∵g（0）=0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0． 所以f（x）在（﹣1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数； （Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（﹣m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m=2时f（x）＞0． 当m=2时，函数在（﹣2，+∞）上为增函数，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0． 故f′（x）=0在（﹣2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（﹣1，0）． 当x∈（﹣2，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0， 从而当x=x0时，f（x）取得最小值． 由f′（x0）=0，得，ln（x0+2）=﹣x0． 故f（x）≥=＞0． 综上，当m≤2时，f（x）＞0． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了不等式的证明，考查了函数与方程思想，分类讨论的数学思想，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力．熟练函数与导数的基础知识是解决该题的关键，是难题． 20. [选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|2x+1|+|3x﹣2|，且不等式f（x）≤5的解集为{x|≤x≤}，a，b∈R． （1）求a，b的值； （2）对任意实数x，都有|x﹣a|+|x+b|≥m2﹣3m+5成立，求实数m的最大值． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法． 【分析】（1）通过若，若，若，化简不等式求出解集，利用已知条件，求解a，b． （2）由（1）知a=1，b=2，求出绝对值的最值，得到m2﹣3m+5≤3，然后求解实数m的最大值． 【解答】解：（1）若，原不等式可化为﹣2x﹣1﹣3x+2≤5，解得，即； 若，原不等式可化为2x+1﹣3x+2≤5，解得x≥﹣2，即； 若，原不等式可化为2x+1+3x﹣2≤5，解得，即； 综上所述，不等式|2x+1|+|3x﹣2|≤5的解集为，所以a=1，b=2． （2）由（1）知a=1，b=2，所以|x﹣a|+|x+b|=|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3， 故m2﹣3m+5≤3，m2﹣3m+2≤0，所以1≤m≤2，即实数m的最大值为2． 　 21. （本题满分10分）已知：函数 （1）求函数的最小正周期和图象的对称中心. （2）求函数在区间上的值域. 参考答案： 略 22. 在ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均相等，且∠ABB1=60°，D为AC的中点，求证： （1）B1C∥平面A1BD； （2）AB⊥B1C． 参考答案： 【考点】棱柱的结构特征． 【分析】（1）连接AB1和A1B，交于E，连接DE，运用中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证； （2）取AB中点O，连接OC，OB1，则OB1⊥AB，证明AB⊥平面OB1C，即可证明AB⊥B1C． 【解答】证明：（1）连接AB1和A1B，交于E，连接DE， 由D，E分别为AC，A1B的中点，可得DE∥B1C， 由DE?平面A1BD，B1C?平面A1BD， 即有B1C∥平面A1BD； （2）取AB中点O，连接OC，OB1，则OB1⊥AB． 在正△ABC中，O为AB的中点，∴OC⊥AB， ∵OB1∩OC=O， ∴AB⊥平面OB1C， ∴AB⊥B1C．