2022年湖南省永州市紫溪镇塘复中学高二数学理联考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 甲乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为70%，则甲乙两人下一盘棋，最可能出现的情况是（ ）
A．甲获胜 B．乙获胜 C．二人和棋 D．无法判断
参考答案：
C
2. 已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线离心率是
A． B．1 C． D．2
参考答案：
C
3. 方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的图形是( )
（A）一条直线和一条双曲线（B）两条双曲线（C）两个点（D）以上答案都不对
参考答案：
C
4. ,定义函数,若两两不相等，且为不小于6的偶数，则满足上述条件的不同的函数有（ ）个
（A）48 （B）54 （C）60 （D）66
参考答案：
B
略
5. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由题意确定正三棱锥的顶点到底面的距离为1，求出正三棱柱的棱长，求出底面面积，然后可得体积．
【解答】解：由题意易知正三棱锥的顶点到底面的距离为1．
∵底面是正三角形且球半径为1．
∴底面边长为，
∴底面积为，
∴V=××1=．
故选C．
6. 在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a∈R，a*0=a；
（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．
则函数f（x）=（ex）*的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
参考答案：
B
【考点】进行简单的合情推理．
【分析】根据性质，f（x）=（ex）*=1+ex+，利用基本不等式，即可得出结论．
【解答】解：根据性质，f（x）=（ex）*=1+ex+≥1+2=3，
当且仅当ex=时，f（x）=（ex）*的最小值为3．
故选：B．
【点评】本题考查新定义，考查基本不等式的运用，正确理解新定义是关键．
7. 已知，则z=2x+y的最大值为（ ）
A．7 B． C．1 D．8
参考答案：
A
【考点】简单线性规划．
【分析】画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z=2x+y的位置，求出最大值．
【解答】解：作出约束条件的可行域如图，
目标函数z=2x+y在的交点A（3，1）处取最大值为z=2×3+1=7．
故选：A．
8. 已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
9. 已知（为常数）在上有最小值，那么此函数在上的最大值为( )
A． B． C． D．
参考答案：
D
10. 已知函数，则这个函数在点处的切线方程是（ ）
A． B。 C。 D.
参考答案：
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知抛物线方程，则它的焦点坐标为_______
参考答案：
(0, )
略
12. 若函数且f(f(2))>7，则实数m的取值范围为________．
参考答案：
m<5
13. 式子＝ （用组合数表示）．
参考答案：
略
14. 择优班)．函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(m，n>0)上，则的最小值为________．
参考答案：
4
15. 已知则为 .
参考答案：
16. 已知，则 。
参考答案：
17. 设，，是单位向量，且=+，则向量，的夹角等于 .
参考答案：
60°
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知是虚数单位，复数满足．
（Ⅰ）求复数．
（Ⅱ）若复数的虚部为，且是实数，求．
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）．
（Ⅰ）∵，
∴．
（Ⅱ）∵复数的虚部为，
∴设，
则为实数，
∴，此时，
∴．
19. 已知直线l1：（2a﹣1）x+y﹣4=0，l2：2x+（a+1）y+2=0，a∈R，l1∥l2．
（1）求a的值；
（2）若圆C与l1、l2均相切，且与l1相切的切点为P（2a，2a），求圆C的方程．
参考答案：
（1）∵∥，∴……………………2分
解得或……………………3分
当时，直线的方程为，直线的方程为，
满足∥……………………4分
当时，直线的方程为，直线的方程为，
与重合……………………5分
∴所求的值为1……………………6分
（2）与的距离为为圆的直径……………………7分
∴圆的半径为……………………8分
设圆的圆心坐标为，∵，直线的斜率为，所以直线
的斜率为1，∵ ∴，即 ……………………9分
∵，∴， 解得或…………10分
当时圆心不在与之间，应舍去………11分
∴圆的方程为……………………12分
20. 数列的各项均为正值，，对任意，，都成立．
（1）求数列、的通项公式；
（2）当且时，证明对任意都有成立．
参考答案：
解：（1）由得，
∵数列的各项为正值，，
∴ ，整理为. 又
∴数列为等比数列．∴，
∴，即为数列的通项公式．
∴ .
（2）设
∴ (1)
当时，，, ∴
∴, 当且仅当时等号成立．
上述（1）式中，，，全为正，所以
∴ .
略
21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，，，，E，F分别是棱PC，AB的中点.
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）求二面角的余弦值.
参考答案：
（1）见解析（2）
【分析】
（1）依据线面平行的判定定理，在面中寻找一条直线与平行，即可由线面平行的判定定理证出；
(2)建系，分别求出平面，平面的法向量，根据二面角的计算公式即可求出二面角的余弦值。
【详解】（1）证明：如图，取中点为，连结，
则，
所以与平行与且相等，所以四边形是平行四边形，
所以平面，平面，
所以平面.
（2）令，因为是中点，所以平面，
以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
在菱形中，，
所以，，在中，
，则，，
，，，
设平面的法向量为，
所以，所以可取，
又因平面的法向量，
所以.
由图可知二面角为锐二面角，
所以二面角余弦值为.
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理应用以及二面角的求法，常见求二面角的方法有定义法，三垂线法，坐标法。
22. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b.
(1)求角A的大小； (2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．
参考答案：
(1)由acos C＋c＝b得sin Acos C＋sin C＝sin B．
又sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin C＝cos Asin C，
因为sin C≠0，所以cos A＝，又因为0
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