2022-2023学年山西省忻州市阳坡联合学校高一数学文月考试卷含解析

2022-2023学年山西省忻州市阳坡联合学校高一数学文月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （5分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=（） A． 8 B． ﹣8 C． 16 D． 8或﹣8 参考答案： A 考点： 函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据分段函数f（x）的解析式，求出f[f（﹣2）]的值即可． 解答： ∵函数f（x）=， ∴f（﹣2）=（﹣2）2=4， ∴f[f（﹣2）]=f[4]=2×4=8． 故选：A． 点评： 本题考查了根据分段函数的解析式，求出函数值的应用问题，是基础题目． 2. 函数在区间上递减，则的取值范围是 A. B.           C. D. 参考答案： B 略 3. 如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D?直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是(　　) A．当|CD|＝2|AB|时，M，N两点不可能重合 B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交 C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交 D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行 参考答案： B 4. 若，是第三象限的角，则等于（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 先由同角三角函数的关系求出的正弦值，再利用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数求解即可. 【详解】因为，是第三象限的角， 所以， ，故选A. 5. 是,的平均数,是,,,的平均数,是,,的平均数，则下列各式正确的是（　　） A．    B.   C.    D. 参考答案： A 略 6. 掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a，设事件A=“a为3”，B=“a为4”，C=“a为奇数”，则下列结论正确是（　　） A．A与B为互斥事件 B．A与B为对立事件 C．A与C为对立事件 D．A与C为互斥事件 参考答案： A 【考点】C4：互斥事件与对立事件． 【分析】观察所给的三个事件，A与B是互斥事件，B与C是互斥事件，这里没有对立事件，A事件包含在C事件里，得到结论． 【解答】解：∵设事件A=“a为3”，B=“a为4”，C=“a为奇数”， ∴A与B是互斥事件， B与C是互斥事件， 这里没有对立事件， A事件包含在C事件里， 故选：A． 7. 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　)   A．3           B．1          C．－1       D．－3   参考答案： D 8. 已知函数f（log4x）=x，则等于（　　） A． B． C．1 D．2 参考答案： D 【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】运用“整体代换”的思想，令log4x=，求解出x的值，即可求得答案． 【解答】解：∵函数f（log4x）=x， ∴令log4x=，则x==2， 故f（）=2． 故选：D． 【点评】本题考查了函数的求值，运用了“整体代换”的思想求解函数值，解题过程中运用了对数的运算性质，要熟练掌握指数式与对数式的互化．属于基础题． 9. 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（　　） A．100 B．150 C．200 D．250 参考答案： A 10. 圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（　　） A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=2 B．（x+1）2+（y+2）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 D．（x+1）2+（y+2）2=5 参考答案： C 【考点】圆的标准方程． 【分析】由题意求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案． 【解答】解：由题意可知，圆的半径为r=． ∴圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2=5． 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若a,b满足关系:,求出的最大值______. 参考答案： 【分析】 先将整理，可得到表示圆上的点， 再由目标函数表示圆上的点与定点连线的斜率；结合图像，即可求出结果. 【详解】因为可化为， 因此表示圆上的点， 所以表示圆上的点与定点连线的斜率； 作出图像如下： 由图像易得，当过点的直线与圆相切时，斜率即可取最大或最小值； 由得， 根据直线与圆相切可得， ，即， 解得， 因此的最大值为. 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需理解目标函数的几何意义，根据图像即可求解，属于常考题型. 12. 若实数满足，则的取值范围是            ． 参考答案： 13. 已知数列中，（），则              参考答案： 2 略 14. 已知，，为平面外一点，且，则平面与平面的位置关系是    ； 参考答案： 垂直 略 15. （3分）近几年，每年11月初，黄浦江上漂浮在大片的水葫芦，严重影响了黄浦江的水利、水质、航运和市容景观．为了解决这个环境问题，科研人员进行科研攻关．如图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦的面积与时间的函数关系图象．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法： ①此指数函数的底数为2； ②在第5个月时，水葫芦的面积会超过30m2； ③水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月； ④设水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1+t2=t3； 其中正确的说法有       ．（请把正确的说法的序号都填在横线上）． 参考答案： ①②④ 考点： 函数的图象． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据其关系为指数函数，图象过（4，16）点，得到指数函数的底数为2，当t=5时，s=32＞30，利用指对互化做出三个时间的值，结果相等，根据图形的变化趋势得出命题③错误． 解答： ∵其关系为指数函数， 图象过（4，16）点， ∴指数函数的底数为2，故①正确， 当t=5时，s=32＞30，故②正确 4对应的t=2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故③不正确； ∵t1=1，t2，=log23，t3=log26， ∴有t1+t2=t3，故④正确， 综上可知①②④正确． 故答案为：①②④． 点评： 本题考查指数函数的变化趋势，解题的关键是题目中有所给的点，根据所给的点做出函数的解析式，从解析式上看出函数的性质． 16. 已知两圆相交于两点(2,3)和(m,2)，且两圆的圆心都在直线上，则m+n的值是    ▲    ． 参考答案： －3 两圆相交于两点A（2，3）和B（m，2），且两圆圆心都在直线上， 可得KAB=，即1=，…① AB的中点（，）在直线上，可得++n=0…②， 由①②可得m=1，n=﹣4， ∴m+n=﹣3．   17. 在△ABC中，B=45°，C=60°，c=，则b=　 　． 【考点】正弦定理． 参考答案： 2 【分析】由条件利用正弦定理求得b的值． 【解答】解：△ABC中，∵B=45°，C=60°，c=， 则由正弦定理可得=，即 =， 求得b=2， 故答案为：2． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （1）已知，，其中，，求cos（α+β）； （2）已知，，且，求β的值． 参考答案： 【考点】GP：两角和与差的余弦函数． 【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，，利用两角和的余弦函数公式即可计算得解． （2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，sin（α﹣β）的值，进而利用两角差的正弦函数公式即可计算得解sinβ的值，结合范围可求β的值． 【解答】解：（1）∵，，，， ∴，， ∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=． （2）∵，，∴， ∵，，∴，∴， ∴sinβ=sin（α﹣（α﹣β））=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=， ∴． 19. 已知函数f（x）=x2﹣2ax+a． （1）当a=1时，求函数f（x）在[0，3]上的值域； （2）是否存在实数a，使函数f（x）=x2﹣2ax+a的定义域为[﹣1，1]，值域为[﹣2，2]？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数的定义域及其求法；函数的值域． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）由题意可得，f（x）=（x﹣1）2，根据定义域为[0，3]，f（x）在[0，1）上单调减，在（1，3]上单调增，求得函数的值域． （2）由条件可得二次函数的对称轴为x=a，分当a≥1时、当0≤a＜1时、当﹣1≤a＜0时三种情况，根据定义域为[﹣1，1]，值域为[﹣2，2]，分别利用二次函数的性质求得a的值． 【解答】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣2ax+a，a=1，∴f（x）=（x﹣1）2， ∵x∈[0，3]，∴f（x）在[0，1）上单调减，在（1，3]上单调增， ∴最小值为f（1）=0，而 f（0）=1 f（3）=4， ∴函数的值域为[0，4]． （2）当a≥1时，由于f（x）在[﹣1，1]上是减函数，可得，故有 （舍去）． 当0≤a＜1时，由，即 （舍去）． 当﹣1≤a＜0时，由，即 ，求得a=﹣1． 当a＜﹣1时，由，求得 ，解得a=﹣1（舍去）． 综上所述：a=﹣1． 【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的定义域和单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 20. （本题16分）设函数（＞0且，），f（x）是定义域为R的奇函数． （1）求k的值，判断并证明当a＞1时，函数f（x）在R上的单调性； （2）已知f（1）=，函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），，求g（x）的值域； （3）已知a=3，若f（3x）≥λ?f（x）对于时恒成立．请求出最大的整数λ． 参考答案： （Ⅰ）∵f（x）=kax﹣a﹣x是定义域为R上的奇函数， ∴f（0）=0，得k=1，∴f（x）=ax﹣a﹣x， ∵f（﹣x）=a﹣x﹣ax=﹣f（x），∴f（x）是R上的奇函数， 设x2＞x1，则f（x2）﹣f（x1）=ax2﹣a﹣x2）﹣（ax1﹣a﹣x1）=（ax2﹣ax1）（1+）， ∵a＞1，∴ax2＞ax1，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x）在R上为增函数； （Ⅱ）∵f（1）=，∴a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2或a=﹣（舍去）， 则y=g（x）=22x+2﹣2x﹣2（2x﹣2﹣x），，令t=2x﹣2﹣x，， 由（1）可知该函数在区间上为增函数，则﹣，， 则y=h（t）=t2﹣2t+2，﹣，， 当t=﹣时，ymax=；当t=1时，ymin=1，∴g（x）的值域为[1，， （Ⅲ）由题意，即33x+3﹣3x≥λ（3x﹣3﹣x），在时恒成立 令t=3x﹣3﹣x，x∈[1，2]，则， 则（3x﹣3﹣x）（32x+3﹣2x+1）≥λ（3x﹣3﹣x），恒成立，即为t（t2+3）≥λ?t，t恒成立， λ≤t2+3，t恒成立，当t=时，（t2+3）min=，∴λ≤，则λ的最大整数为10． 21. （本小题满分8分） 定义域在R的单调函数满足，且， （I）求，； （II）判断函数的奇偶性，并证明； （III）若对于任意都有成立，求实数的取值范围． 参考答案： 解：