湖南省娄底市石新中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

湖南省娄底市石新中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，则的解集为（   ）  A.          B.        C.         D. 参考答案： C 因为,原函数的定义域为,所以由可得,解得,故选C. 2. 在中, 已知,则角的度数为（   ）    A．             B．            C．             D． 参考答案： A 3. 如图所示程序框图中，输出S=（　　） A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66 参考答案： B 【考点】循环结构． 【专题】计算题；简易逻辑． 【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1?n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案． 【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2?12=1，S=0+1=1，n=1+1=2； 第二次运行T=（﹣1）3?22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3； 第三次运行T=（﹣1）4?32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4； … 直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10?92， S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55． 故选：B． 【点评】本题考查了循环结构的程序框图，判断算法的功能是解答本题的关键． 4. 已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（  ）   A．       B．     C．      D．  参考答案： A 略 5. 关于直线与平面，有以下四个命题： ①若，则       ②若 ③若   ④若 其中真命题有(    )        A．1个       B．2个      C．3个      D．4个 参考答案： B 6. 由函数的图象，变换得到函数的图象，这个变换可以是（     ） A．向左平移        B．向右平移       C. 向左平移         D．向右平移 参考答案： B 7. 在矩形ABCD中，，，若向该矩形内随机投一点P，那么使与的面积都小于4的概率为 A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积小于4，则三角形的高要，得到两个三角形的高即为P点到AB和AD的距离，得到对应区域，利用面积比求概率 【详解】由题意知本题是一个几何概型的概率， 以AB为底边，要使面积小于4，由于， 则三角形的高要 ，同样，P点到AD的距离要小于 ，满足条件的P 的区域如图， 其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是， ∴使得△ABP与△ADP的面积都小于4的概率为： ； 故选：A． 【点睛】本题考查几何概型，明确满足条件的区域，利用面积比求概率是关键． 8. 已知O是坐标原点，双曲线的两条渐近线分别为l1，l2，右焦点为F，以OF为直径的圆交l1于异于原点O的点A，若点B在l2上，且，则双曲线的方程为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】求出双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程和圆的方程，联立方程求出A，B的坐标，结合点B在渐近线y=﹣x上，建立方程关系求得A的坐标，设B（m，n），运用向量的坐标关系，结合B在渐近线上，可得a，c的关系，再由a=1，即可得到c，b，进而得到所求双曲线的方程． 【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程 l1，y=x，l2，y=﹣x， F（c，0）， 圆的方程为（x﹣）2+y2=，将y=x代入圆的方程， 得（x﹣）2+（x）2=， 即x2=cx，则x=0或x=， 当x=，y═?=，即A（，）， 设B（m，n），则n=﹣?m， 则=（﹣m，﹣n），=（c﹣，﹣）， ∵， ∴（﹣m，﹣n）=（c﹣，﹣）， 则﹣m=2（c﹣），﹣n=2?（﹣）， 即m=﹣2c，n=， 即=﹣?（﹣2c）=﹣+， 即=， 则c2=3a2， 由双曲线可得a=1，c=，b=n==． 则双曲线的方程为x2﹣=1． 故选：B． 9. 设,,,则（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 根据与特殊点的比较可得因为,,,从而得到,得出答案. 【详解】解:因为, , , 所以. 故选:B 【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的单调性与特殊点的问题,要熟记一些特殊点,如,,. 10. 已知集合，，则（    ） ．    ．       ．       ． 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 曲线在点（1，3）处的切线方程为          参考答案： 12. 若cos αcos(α＋β)＋sin αsin(α＋β)＝－，β是第二象限的角，则tan 2β＝________. 参考答案： 13. 已知数列满足：，数列的前项和为，则___________. 参考答案： 由①，得 ②，①②得，即，所以数列的通项，所以． 14. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是          ． 参考答案： 【知识点】函数奇偶性、单调性的应用.    B3  B4   解析：因为当x≥0时，f（x）=，所以f(x)是的增函数，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f(x)是R上的增函数，所以若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，即对任意x∈[a，a+2] ，因为函数2x+1是[a，a+2]上的增函数，所以2x+1有最大值2a+5,所以. 【思路点拨】先根据已知判定函数f(x)是R上的单调增函数，然后把命题转化为对任意x∈[a，a+2],a 2x+1恒成立问题求解. 15. 设函数f（x）=若f[f（a）]，则a的取值范围是　　． 参考答案： 或a=1 【考点】函数的值域． 【专题】压轴题；函数的性质及应用． 【分析】分a在和两种情况讨论，同时根据f（a）所在的区间不同求f[f（a）]的值，然后由f[f（a）]求解不等式得到a的取值范围． 【解答】解：当时，． ∵，由，解得：，所以； 当，f（a）=2（1﹣a）， ∵0≤2（1﹣a）≤1，若，则， 分析可得a=1． 若，即，因为2[1﹣2（1﹣a）]=4a﹣2， 由，得：． 综上得：或a=1． 故答案为：或a=1． 【点评】本题考查了函数的值域，考查了分类讨论的数学思想，此题涉及二次讨论，解答时容易出错，此题为中档题． 16. 双曲线的离心率为             ． 参考答案： 2 ．． 17. 已知α∈(0，)，β∈(，π)，sinβ=，sin(α+β)=，则sinα的值为　　；tan的值为　   ． 参考答案：   【考点】两角和与差的正弦函数． 【分析】由已知可求范围α+β∈（，），利用同角三角函数基本关系式可求cos（α+β），sinβ的值，利用角的关系α=（α+β）﹣β，根据两角差的正弦函数公式即可化简求值，进而可求cosα，利用同角三角函数基本关系式，降幂公式即可计算得解的值． 【解答】解：∵α∈（0，），β∈（，π）， ∴α+β∈（，），…1分 ∴cos（α+β）=﹣=﹣，…3分 ∴cosβ==﹣，…5分 ∴sinα=sin[（α+β）﹣β]=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=×（﹣）﹣（﹣）×=． ∵cosα==， ∴===3﹣2． 故答案为：． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，过椭圆E： +=1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足为左焦点F，A，B分别为E的右顶点，上顶点，且AB∥OP，|AF|=+1． （1）求椭圆E的方程； （2）过原点O做斜率为k（k＞0）的直线，交E于C，D两点，求四边形ACBD面积S的最大值． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）由题意可得P（﹣c，），求出kOP，kAB，又AB∥OP，即可得到b=c，a=c，由已知|AF|=a+c=+1，求得a，b，则椭圆E的方程可求； （2）由题意可设CD：y=kx，设C（x1，y1），D（x2，y2），到AB的距离分别为d1，d2，将y=kx代入椭圆方程可得x1，x2，进一步求出d1，d2，则四边形ACBD的面积S取得最大值可求． 【解答】解：（1）由题意可得P（﹣c，）， ∴kOP=﹣，kAB=﹣． 由AB∥OP，∴﹣=﹣，解得b=c，a=c， 由|AF|=a+c=+1得b=c=1，a=， 故椭圆E的方程为+y2=1． （2）由题意可设CD：y=kx，设C（x1，y1），D（x2，y2），到AB的距离分别为d1，d2， 将y=kx代入+y2=1，得x2=，则x1=，x2=﹣． 由A（，0），B（0，1）得|AB|=，且AB：x+y﹣=0， d1=，d2=﹣， S=|AB|（d1+d2）= [（x1﹣x2）+（y1﹣y2）] =（1+k）（x1﹣x2）=， S2=2（1+），∵1+2k2≥2k，当且仅当2k2=1时取等号， ∴当k=时，四边形ACBD的面积S取得最大值2． 19. 已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，，其中λ为实数，n为正整数． （Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论； （Ⅲ）设0＜a＜b，Sn为数列{bn}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由． 参考答案： 解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22=a1a3，即，矛盾． 所以{an}不是等比数列． （Ⅱ）解：因为bn+1=（﹣1）n+1[an+1﹣3（n+1）+21]=（﹣1）n+1（an﹣2n+14） =（﹣1）n?（an﹣3n+21）=﹣bn 又b1=﹣（λ+18），所以 当λ=﹣18，bn=0（n∈N+），此时{bn}不是等比数列： 当λ≠﹣18时，b1=（λ+18）≠0，由上可知bn≠0， ∴（n∈N+）． 故当λ≠﹣18时，数列{bn}是以﹣（λ+18）为首项，﹣为公比的等比数列． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=﹣18，bn=0，Sn=0，不满足题目要求． ∴λ≠﹣18，故知bn=﹣（λ+18）?（﹣）n﹣1，于是可得 Sn=﹣， 要使a＜Sn＜b对任意正整数n成立， 即a＜﹣（λ+18）?[1﹣（﹣）n]＜b（n∈N+） 得 ① 当n为正奇数时，1＜f（n）≤；当n为正偶数时，， ∴f（n）的最大值为f（1）=，f（n）的最小值为f（2）=，． 于是，由①式得a＜﹣（λ+18）＜． 当a＜b≤3a时，由﹣b﹣18≥=﹣3a﹣18，不存在实数满足题目要求； 当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b，且λ的取值范围是（﹣b﹣18，﹣3a﹣18） 略 20. （本题满分12分）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于Ｐ、Ｑ两点，且，求该椭圆方程． 参考答案： 设，， 设椭圆方程，消得有两根为 ，且有 即即 ２＋（）＋１＝０解得椭圆方程为． 21. （12分）如图，