黑龙江省哈尔滨市南岗第三十二中学2022年高三数学理联考试题含解析

黑龙江省哈尔滨市南岗第三十二中学2022年高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 偶函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 参考答案： C 由当时，有，可得：cosx+f（x）sinx＜0 根据题意，设g（x）=，其导数为g′（x）=， 又由时，有cosx+f（x）sinx＜0，则有g′（x）＜0， 则函数g（x）在（0，）上为减函数， 又由f（x）为定义域为的偶函数， 则g（﹣x）===g（x），则函数g（x）为偶函数， ?>f（）?>?g（x）>g（）， 又由g（x）为偶函数且在（0，）上为减函数，且其定义域为， 则有|x|<， 解可得：﹣＜x＜0或0＜x＜， 即不等式的解集为； 故选：C． 2. 已知A = {x| x + 1≥0}，B = {y| y2－2＞0}，全集I = R，则A∩IB为（    ） A．{x| x≥或x≤－} B．{x| x≥－1或x≤} C．{x|－1≤x≤}                        D．{x|－≤x≤－1} 参考答案： 答案：C 3. （5分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（　　） 　 A． B． 8+ C． D． 参考答案： D 【考点】： 由三视图求面积、体积． 【专题】： 空间位置关系与距离． 【分析】： 先由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用柱体和锥体体积公式进行求解． 解：由三视图得，该几何体为一个半圆柱和一个半圆锥组成的组合体， 半圆柱和半圆锥的底面半径均为1， 半圆柱的高为4，半圆锥的高为2， 故半圆柱的体积为：×π×4=2π， 半圆锥的体积为：××π×2=， 故组合体的体积V=2π+=， 故选：D 【点评】： 解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用几何体的面积及体积公式解决． 4. 对任意的实数a、b ，记． 若，其中奇函数在时有极小值-2，是正比例函数，函数与函数的图象如图所示．则下列关于函数的说法中，正确的是(     ) A．为奇函数 B．有极大值F（-1）且有极小值F（0） C．的最小值为-2且最大值为2 D．在（-3，0）上为增函数 参考答案： B 略 5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为 A. 6π B. 24π C. 48π D. 96π 参考答案： B 【分析】 由三视图可知，三棱锥的直观图是底面为直角边为4与2的直角三角形形，高为2的三棱锥，将三棱锥补成长方体，利用长方体的外接球与棱锥的外接球相同求解即可. 【详解】 由三视图画出三棱锥的直观图，如图， 图中矩形的长为4，宽为2，棱锥的高为， 所以棱锥的外接球就是以为长、宽、高的长方体的外接球， 外接球的直径就是长方体的体对角线，即， 所以外接球的表面积为，故选B. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 6. 在等比数列中，是方程的两根，则的值为（   ） A．11            B．-11              C．           D． 参考答案： B 7. 已知函数(为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数a的取值范围是 A．                          B．       C．                     D． 参考答案： B 函数与的图象上存在关于轴对称的点，即函数与的图象有交点，即在区间有零点，，故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，即在处取得最小值，要与有交点，则需.另一方面，故， ，综上所述，实数的取值范围是.   8. 已知数列的通项为,则“ ”是“ ” 的  (A)充分不必要条件   (B)必要不充分条件 (C)充要条件         (D)既不充分也不必要条件 参考答案： 【知识点】充分条件；必要条件.  A2 A  解析：因为，所以对于n∈恒成立，所以”是“ ”的充分不必要条件 .   【思路点拨】先求出的条件，再根据充分性、必要性的判定方法确定结论.  9. 设，则“”是“直线l1：与 直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(   ) A．充分不必要条件             B．必要不充分条件           C．充分必要条件               D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 10. 已知函数的定义域为,则函数的定义域为（　　）      (A)        (B)    (C)         (D) 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，若在平行四边形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率是　　． 参考答案： 【考点】几何概型． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答． 【解答】解：由题意△ABE的面积是平行四边形ABCD的一半， 由几何概型的计算方法， 可以得出所求事件的概率为P=， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了几何概型，解决此类问题的关键是弄清几何测度，属于基础题． 12. 已知直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为　     　． 参考答案： （x﹣2）2+（y﹣1）2=5 【考点】J1：圆的标准方程． 【分析】根据题意，求出直线与坐标轴的交点坐标，分析可得经过O、A、B三点的圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，求出圆的半径与圆心，代入圆的标准方程即可得答案． 【解答】解：根据题意，直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴的交点为（4，0）、（0，2）， 经过O、A、B三点的圆即△OAB的外接圆， 又由△OAB为直角三角形，则其外接圆直径为|AB|，圆心为AB的中点， 则有2r==2，即r=， 圆心坐标为（2，1）， 则要求圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5； 故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5． 13. 已知是等差数列，，，那么该数列的前13项和等于         . 参考答案： 156 略 14. 已知椭圆的面积计算公式是，则_____； 参考答案： 略 15. 对任意不等式恒成立，则m的取值范围是    . 参考答案： 略 16. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f()的值为      ． 参考答案： 17. 如图，阴影部分区域Γ是由线段AC，线段CB及半圆所围成的图形（含边界），其中边界点的坐标为A（1，1），B（3，3），C（1，3）当动点P（X，Y）在区域Γ上运动时，的取值范围是　　． 参考答案： [，3] 考点： 简单线性规划的应用．. 专题： 数形结合． 分析： 本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围． 解答： 解：平面区域如下图示，表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率， 当（x，y）=C（1，3）时取最大值3， 又半圆的圆心为（2，2），半径为， 设过原点且与半圆相切的切线方程为y=kx， 则圆心到切线的距离d==，解得k=2﹣， ∴最小值2﹣， 故的取值范围是[，3]． 故答案为：[，3]． 点评： 平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，其中，O为坐标原点. （1）若，求的面积； （2）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA与TB的斜率互为相反数. 参考答案： （1）（2）在轴上存在定点，使得直线TA与TB的斜率互为相反数. 【分析】 （1）由题意不妨设点A(0,1),写出直线AB方程，与椭圆方程联立，得点B坐标，根据面积公式即可得结果；（2）设过点D的直线方程，与椭圆方程联立，用韦达定理，即可得到定点T的坐标. 详解】(1)当时，或， 由对称性，不妨令，此时直线：， 联立，消去整理得， 解得，， 故. 所以的面积为. （2）显然直线斜率不为0，设直线：， 联立，消去整理得 所以，即， ，， 设，则 因为直线与的斜率互为相反数，所以， 即， 故，故在轴上存在定点，使得直线与的斜率互为相反数. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 19. 某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0.5慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）．游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案．（Ⅰ）设闯过（且）关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为，试求出 的表达式；（Ⅱ）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？ 参考答案： 解：（Ⅰ）第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，∴， 第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是4，公差也为4的等差数列， ∴，       第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是，公比为2的等比数列， ∴． （Ⅱ）令，即，解得  ， ∵且 ，∴恒成立．        令，即，可得  ，   ∴当时，最大；当时，， 综上，若你是一名闯关者，当你能冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案； 当你能冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案． 略 20. 微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A组”，否则为“B组”，调查结果如下：   A组 B组 合计 男性 26 24 50 女性 30 20 50 合计 56 44 100 （Ⅰ）根据以上数据，能否有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关？ （Ⅱ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“A组”和“B