湖南省湘西市第一高级中学高二数学理联考试题含解析

湖南省湘西市第一高级中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知双曲线的离心率，则它的渐近线方程为 (     ) A.        B.       C.       D. 参考答案： C 略 2. 已知集合，集合，则M∩N＝(　　) A．(0，1)       B．(2，＋∞)    C．(0，＋∞)      D．(0，1)∪(2，＋∞) 参考答案： D 3. 点（4，-3）到圆的最小距离为（ ） A、3        B、4          C、5             D、      参考答案： A 略 4. 设f ′(x)是函数f(x)的导函数，= f ′(x)的图象如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的是(    ) 参考答案： C 5. 抛物线上一点P到轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(  ) A.4        B.6        C.8        D.12 参考答案： B 6. 如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(     )． ①正方体         ②圆锥         ③三棱台        ④正四棱锥 A．②④               B．①③                     C．①④                          D．②③ 参考答案： A 7. 函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（  ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 根据导数几何意义，结合图象确定选择 【详解】、是分别为1、2时对应图像上点的切线斜率，，为图像上为2和1对应两点连线的斜率，由图可知，，故选B. 【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本分析判断能力，属基础题. 8. “函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点”是“f（a）?f（b）＜0”的（　　）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．非充分非必要 参考答案： D 【考点】函数零点的判定定理；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】通过举反例可得充分性不成立，通过举反例可得必要性不成立，从而得出结论． 【解答】解：由“函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点”不能推出“f（a）?f（b）＜0”，如f（x）=x2﹣1在（﹣2，2）上有零点， 但f（﹣2）?f（2）＞0，故成分性不成立． 由“f（a）?f（b）＜0”不能推出“函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点”，如f（x）= 满足f（﹣1）?f（1）＜0， 但f（x）= 在（﹣1，1）上没有零点，故必要性不成立． 故选D． 【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题． 9. 已知、、为△的三边,且,则等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 10. 已知对任意实数，有，且时，，则时（    ） A．          B． C．          D． 参考答案： 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在的展开式中，的系数为         . 参考答案： -10 12. 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝_________. 参考答案： 略 13. 某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，现采取分层抽样的方法从男生中任意抽取25人，那么应该在女生中任意抽取           人. 参考答案： 略 14. 执行如图的程序框图，输出s和n，则s的值为　    　． 参考答案： 9 【考点】程序框图． 【分析】框图首先对累加变量和循环变量进行了赋值，然后对判断框中的条件进行判断，满足条件，执行S=S=3，T=2T+n，n=n+1，不满足条件，输出S，n，从而得解． 【解答】解：首先对累加变量和循环变量赋值，S=0，T=0，n=1， 判断0≤0，执行S=0+3=3，T=2×0+1=1，n=1+1=2； 判断1≤3，执行S=3+3=6，T=2×1+2=5，n=2+1=3； 判断5≤6，执行S=6+3=9，T=2×5+3=13，n=3+1=4； 判断13＞9，算法结束，输出S，n的值分别为9，4， 故答案为：9． 15. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0且=，则Sn为非负值的最大n值为　   　． 参考答案： 20 【考点】等差数列的性质． 【分析】设出等差数列的公差d，由=得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式，由Sn≥0求出n的范围，再根据n为正整数求得n的值． 【解答】解：设等差数列的公差为d，由=， 得=， 即2a1+19d=0，解得d=﹣， 所以Sn=na1+×（﹣）≥0， 整理，得： Sn=na1?≥0． 因为a1＞0， 所以20﹣n≥0即n≤20， 故Sn为非负值的最大n值为20． 故答案是：20． 【点评】本题考查等差数列的前n项和，考查了不等式的解法，是基础题． 16. 的展开式中的常数项为____________． 参考答案： -5 17. 研究问题：“已知关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0，令y=，则y∈（，1），所以不等式 cx2﹣bx+a＞0的解集为（，1）”．类比上述解法，已知关于x的不等式+＜0的解集为 （﹣2，﹣1）（2，3），则关于x的不等式+＜0的解集为 　　． 参考答案： （﹣，﹣）∪（，1） 【考点】类比推理． 【专题】综合题；转化思想；演绎法；推理和证明． 【分析】先明白题目所给解答的方法，然后依照所给定义解答题目即可． 【解答】解：关于x的不等式+＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（2，3）， 用﹣替换x，不等式可以化为：+＜0， 可得﹣∈（﹣2，﹣1）∪（2，3）， 可得﹣＜x＜﹣或＜x＜1． 故答案为：（﹣，﹣）∪（，1）． 【点评】本题是创新题目，考查理解能力，读懂题意是解答本题关键，将方程问题和不等式问题进行转化是解答本题的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图,在四面体中,平面,.是的中点, 是的中点,点在线段上,且. (1)证明:平面; (2)若二面角的大小为,求的大小. 参考答案： 证明(Ⅰ)方法一:如图6,取的中点,且是中点,所以.因为是中点,所以;又因为(Ⅰ)且,所以,所以面面,且面,所以面; 方法二:如图7所示,取中点,且是中点,所以;取的三等分点,使,且,所以,所以,且,所以面; (Ⅱ)如图8所示,由已知得到面面,过作于,所以,过作于,连接,所以就是的二面角;由已知得到,设,所以 , 在中,,所以在中, ,所以在中 ; 19. （本小题满分14分）(1)高中课程中，在各个领域我们学习许多知识．在语言与文学领域，学习语文和外语；在数学领域学习数学；在人文与社会领域，学习思想政治、历史和地理；在科学领域，学习物理、化学和生物；在技术领域，学习通用技术和信息技术；在艺术领域学习音乐、美术和艺术；在体育与健康领域，学习体育等．试设计一个学习知识结构图． 参考答案： 略 20. 设函数的图像在处的切线与直线平行。 （1）求的直线； （2）求函数在区间上的最小值； （3）若，利用结论（2）证明： 参考答案： 解：（1）因为，所以 解得或。又，所以。 （2）由，解得。列表如下： x 0 （0，） （ 1   - 0 + 0 f（x） 2 递减 递增 2   所以函数f（x）在区间[0，1]的最小值为。 （3）因为函数，所以 所以。 当时，，所以 。 又因为，所以 。故，当且仅当a=b=c=时取等号。 21. 对某校2015届高三学生一个月内参加体育活动的次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加体育活动的次数．根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图： （Ⅰ）求a的值，并根据此直方图估计该校2015届高三学生在一个月内参加体育活动的次数的中位数（精确到个位数）； （Ⅱ）在所取的样本中，从参加体育活动的次数不少于20次的学生中任取4人，记此4人中参加体育活动不少于25次的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 参考答案： 考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图． 专题：概率与统计． 分析：（I）由分组[10，9）内的频数是10，频率是0.25，由此能求出a的值，据此直方图估计该校2015届高三学生在一个月内参加体育活动的次数的中位数． II）根据题意ξ可能取值为0，1，2．由此能求出ξ的分布列和Eξ． 解答： 解：（I）由分组[10，9）内的频数是10，频率是0.25， ∴=0.25，∴M=40，即频数之和为40，∴10+24+m+2=40，∴m=4， ∴p==0.10，∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，∴a==0.12． 下面找面积平分线，解得中位数为15+=17≈17． （II）根据题意ξ可能取值为0，1，2． P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ）==， ξ 0 1 2 P ∴ξ的分布列为Eξ=0×+1×+2×=． 点评：本题考查中位数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用 22. 已知函数（ ），若从集合中任取一个元素，从集合中任取一个元素，求方程恰有两个不相等实根的概率. 参考答案：