辽宁省丹东市东港合隆中学高二数学理联考试题含解析

辽宁省丹东市东港合隆中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 海中一小岛，周围a n mile内有暗礁． 海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东． 航    行b n mile以后，望见这岛在北偏东．这艘海轮不改变航向继续前进，没有触礁．那    么a、b所满足的不等关系是    A．    B．    C．   D． 参考答案： A 2. 已知f（x）=x2+sin（+x），f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【专题】导数的综合应用． 【分析】本题可用排除法，由题意得函数f′（x）为奇函数，故A、D错误；又=﹣1＜0，故C错误；即可得出结论． 【解答】解：∵f（x）=x2+sin（+x）， ∴f′（x）=x+cos（）=x﹣sinx． ∴函数f′（x）为奇函数，故A、D错误； 又=﹣1＜0，故C错误； 故选B． 【点评】本题主要考查利用函数的性质判断函数的图象知识，可从函数的奇偶性、单调性、周期性、特殊点等方面进行判断逐一排除，属于中档题． 3. 已知向量=（3，1），=（﹣2，5），那么2+等于（　　） A．（﹣1，11） B．（4，7） C．（1，6） D．（5，﹣4） 参考答案： B 【考点】平面向量的坐标运算． 【分析】直接利用向量的坐标运算求解即可． 【解答】解：向量=（3，1），=（﹣2，5），那么2+=（4，7）． 故选：B． 【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查． 　 4. 直线l过点且与双曲线x2﹣y2=2仅有一个公共点，这样的直线有（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】讨论直线的斜率，当直线的斜率不存在时，直线过双曲线x2﹣y2=2的右顶点，方程为x=，满足条件，当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足满足条件． 【解答】解：当直线的斜率不存在时，直线过双曲线x2﹣y2=2的右顶点， 方程为x=，满足条件； 当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行， 也能满足与双曲线x2﹣y2=2有且仅有一个公共点， 综上，满足条件的直线共有3条． 故选：B． 5. 下列关于命题的说法错误的是（    ） A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则” B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件 C．若命题：，则： D．命题“ ”是真命题 参考答案： D 略 6. 等差数列中，，，则此数列的前20项和等于（　　） A.160 B.180 C.200 D.220 参考答案： B 7. 已知a，b为非零实数，若a＞b且ab＞0，则下列不等式成立的是（　　） A．a2＞b2 B．＞ C．ab2＞a2b D．＜ 参考答案： D 考点： 不等式的基本性质． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： A．取a=1，b=﹣2，即可判断出； B．取a=1，b=﹣2，即可判断出； C．取a=2，b=1，即可判断出； D．由于a，b为非零实数，a＞b，可得，化简即可得出． 解答： 解：A．取a=1，b=﹣2，不成立； B．取a=1，b=﹣2，不成立； C．取a=2，b=1，不成立； D．∵a，b为非零实数，a＞b，∴，化为， 故选：D． 点评： 本题考查了不等式的基本性质，属于基础题． 8. （5分）（2011?平阴县模拟）以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定正确的序号是（　　） A．①②B．①③C．③④D．①④ 参考答案： A 【分析】因为当原函数为增函数时，导数大于0，原函数为减函数时，导数小于0，原函数取得极值时，导数等于0，所以只需逐一判断每个选项当原函数是增或减时，导数的正负，就可找到正确选项． 【解答】解：①中三次函数的图象由左到右是先减后增再减，对应的导数是先小于0，再大于0，最后又小于0，导数的正负与原函数的单调性一致，∴①正确． ②中三次函数的图象由左到右是先减后增再减，对应的导数是先小于0，再大于0，最后又小于0，导数的正负与原函数的单调性一致，∴②正确． ③中三次函数的图象由左到右是先增后减再增，对应的导数在原函数的增区间上既有负值，又有正值，导数的正负与原函数的单调性不一致，∴③错误． ④中三次函数的图象由左到右是先增后减再增，对应的导数在原函数的增区间上为负值，导数的正负与原函数的单调性不一致，∴④错误． 故选A 【点评】本题借助在同一坐标系中的原函数图象与导函数的图象，判断了原函数的单调性与导数的正负之间的关系，是导数的应用． 9. 在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是(     ) A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】确定直线位置的几何要素． 【专题】数形结合． 【分析】本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果． 【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D， 由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上； 若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上； 故选C． 【点评】本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定． 10. 设则等于（　　） A． B． C． D．不存在 参考答案： C 【考点】定积分． 【分析】根据定积分的计算法则计算即可． 【解答】解：设 则=x2dx+（2﹣x）dx=x3|+（2x﹣x2）|=+（4﹣2）﹣（2﹣）=， 故选：C 　 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 棱长为的正方体的外接球的表面积为   ▲   ． 参考答案： 12. 设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是______ 参考答案： 略 13. 设数列{an}的前n的和为Sn，且满足  ▲  ． 参考答案： 4 【分析】 由，得，从而，从而，由此得到是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出的值. 【详解】数列的前项和为，满足， ，解得， ，解得， ，解得， ， 整理，得，是首项为2，公比为2的等比数列， ，故答案为4. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意 的情况.   14. 若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________． 参考答案： (－ln 2，2) 15. 已知数列的前项和为，则下列结论错误的是___________. ①若是等差数列，则是等差数列。 ②若是等差数列，则是等差数列。 ③若是公比为的等比数列，则也是等比数列且公比为。 ④若是公比为的等比数列，则（为常数，且） 也是等比数列且公比为。 参考答案： ②③④ 略 16. 在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点到截面的距离是            ． 参考答案：      17. 如图，椭圆中心在原点，F为左焦点，当时其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”。 （1）类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率等于多少？（只要写出结论即可） （2）已知椭圆E：的一个焦点，试证：若不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”。 参考答案： （1） （2）假设E为黄金椭圆，则   即成等比数列，与已知矛盾，故椭圆E一定不是“黄金椭圆”   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分)已知关于x的不等式的解集是空集，求实数a的取值范围． 参考答案： 当＝0，即a＝±2. 若a＝2时，原不等式化为4x－1≥0，∴x≥. 此时，原不等式的解集不是空集． 若a＝－2时，原不等式化为－1≥0，无解． 此时，原不等式的解集为空集． 当a2－4≠0时，由题意，得， ∴. 综上所述，a的取值范围为-. 19. 已知函数 . （1）当时，求在区间 上的最大值； （2）若在区间(1,+∞) 上，函数的图象恒在直线下方，求a的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）． 试题分析：（1）利用导数判断出函数在区间上的单调性，求出各极值与区间端点的函数值进行比较即得最大值；（2）构造函数，则在区间上恒成立，通过讨论的取值范围得到其单调性，求得最大值，由即可求得实数的取值范围. 试题解析：（1）当时， 当，有；当，有在区间上是增函数，在区间上位减函数，； （2）令，则的定义域为 在区间上，函数的图像恒在直线下方等价于在区间上恒成立 ①若，令，得极值点 当即时，在上有，在上有，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有不合题意； 当即时，同理可知，在区间上，有，也不符合题意； ②若，则有，此时在区间上恒有，从而在上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足,由此求得的范围是. 综合①②可知，当时，函数的图像横在直线下方. 考点：利用导数研究函数在给定区间上的最值和恒成立问题. 【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在给定区间上的最值问题和与函数图象有关的恒成立问题，属于中档题.解答导数问题，最核心的还是研究函数的单调性，有了单调性就可以找到极值点，求出极值与区间端点的函数值进行比较即得其最值；对于函数图象的位置关系问题通常采用构造新函数的方法，仍然转化为函数的最值问题，解答这类问题往往离不开数形结合和分类讨论及转化等数学思想. 20. （本小题满分13分）设抛物线C的方程为x2 =4y，M为直线l：y=－m(m>0)上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A,B． （Ⅰ）当M的坐标为（0，－l）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系； （Ⅱ）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA ⊥MB？若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由。 参考答案： （Ⅰ）当M的坐标为时， 设过M点的切线方程为，代入，整理得，① 令，解得， 代入方程①得，故得，. 因为M到AB的中点(0，1)的距离为2， 从而过三点的圆的标准方程为． 易知此圆与直线l：y=-1相切. ………………………………………………………（6分） （Ⅱ）设切点分别为、，直线l上的点为M ， 过抛物线上点的切线方程为，因为， ， 从而过抛物线上点的切线方程为，又切线过点， 所以得，即. 同理可得过点的切线方程为，………………………（8分） 因为，且是方程的两实根， 从而， 所以， 当，即时， 直线上任意一点M均有MA⊥MB，…………………………………………………（10分） 当，即m≠1时，MA与MB不垂直. 综上所述，当m =1时，直线上存在无穷多个点M，使MA⊥MB，当m≠1时，直线l 上不存在满足条件的点M.……………………………………………………………（13分） 21. 观察下列各式： 　…… 请你根