河南省商丘市春来中学高三数学理上学期期末试题含解析

河南省商丘市春来中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知α，β为锐角，且cos（α+β）=，sinα=，则cosβ的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【分析】根据题意，由cos（α+β）与sinα的值，结合同角三角函数基本关系式计算可得sin（α+β）与cosα的值，进而利用β=[（α+β）﹣α]可得cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，代入数据计算可得答案． 【解答】解：根据题意，α，β为锐角，若sinα=，则cosα=， 若cos（α+β）=，则（α+β）也为锐角， 则sin（α+β）=， 则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=×+×=， 故选：A． 2. 已知某空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为如图所示的等腰直角三角形，如果该直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体外接球的表面积是        A．6                     B．5                    C．4                      D．3 参考答案： D 3. 已知集合，则等于 A．   B．    C．    D． 参考答案： D 4. 已知角的终边经过点,且,则的值为（  　　） A.        B.        C.     D. 参考答案： A 略 5. 在平面直角坐标系中，直线与圆相交于A、B两点，则弦AB的长等于   A.        B.        C.          D.1 参考答案： B 略 6. 在所在平面内有一点O，满足，，则等于 A.                  B.                 C. 3               D. 参考答案： C 略 7. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 参考答案： C 试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：， 考点：全称命题与特称命题 8. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列命题中正确的是（   ） A．若，则         B．若，则         C．若，则         D．若，则  参考答案： D 9. 曲线在点处的切线方程为（   ） A．        B．       C.         D． 参考答案： A 10. 设，若函数，有大于零的极值点，则(          )   A．    B．      C．       D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，则            . 参考答案： 略 12.  某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是         . 参考答案： 5.7％ 略 13. 设实数，满足约束条件，则的最大值为          ． 参考答案： 14 14. 若△ABC的面积为，BC=2，C=，则边AB的长度等于_____________. 参考答案： 2 15. 若函数定义在上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为      参考答案： 【知识点】奇偶性与单调性的综合  B3,B4 【答案解析】（0，1）∪（﹣3，﹣1） 解析：解：∵函数f（x）定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，又f（2）=0， ∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（﹣2）=﹣f（2）=0， ∴当x＞2或﹣2＜x＜0时，f（x）＞0，当x＜﹣2或0＜x＜2时，f（x）＜0，（如图） 则不等式xf（x+1）＜0等价为 或，即或， 则或，解得0＜x＜1或﹣3＜x＜﹣1， 故不等式的解集为（0，1）∪（﹣3，﹣1），故答案为：（0，1）∪（﹣3，﹣1） 【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论 16. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn=　　尺． 参考答案： 【考点】数列的求和． 【分析】根据题意可知，大老鼠和小老鼠打洞的距离为等比数列，根据等比数列的前n项和公式，求得Sn． 【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列， 前n天打洞之和为=2n﹣1， 同理，小老鼠每天打洞的距离=2﹣， ∴Sn=2n﹣1+2﹣=， 故答案为：=． 17. 已知sin(＋α)＝，则cos(π＋α)的值为_________. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=（+）?﹣2． （1）求函数f（x）的最小正周期T； （2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2，c=4，且f（A）=1，求A，b和△ABC的面积S． 参考答案： 【考点】解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法． 【分析】（Ⅰ）利用向量数量积的坐标表示可得，结合辅助角公式可得f（x）=sin（2x﹣），利用周期公式可求； （Ⅱ）由结合可得，，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，从而有，即b2﹣4b+4=0，解方程可得b，代入三角形面积公式可求． 【解答】解：（Ⅰ） =（2分） ===（4分） 因为ω=2，所以（6分） （Ⅱ） 因为，所以，（8分） 则a2=b2+c2﹣2bccosA，所以，即b2﹣4b+4=0 则b=2（10分） 从而（12分） 【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，辅助角公式的应用，三角函数的周期公式的应用，由三角函数值求角，及三角形的面积公式．综合的知识比较多，但试题的难度不大． 　 19. ）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为。 （Ⅰ）求圆C的直角坐标方程； （Ⅱ）设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|。 参考答案： ．解： （Ⅰ）由得即……5分 （Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得， 即由于，故可设是上述方程的两实根， 所以故由上式及t的几何意义得： |PA|+|PB|==。…………10分【解析】略 20. （本题满分共14分）已知数列为等比数列，其前项和为，已知，且对于任意的有，，成等差；Ks5u （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）已知（），记，若对于恒成立，求实数的范围。 参考答案： （Ⅱ）， 若对于恒成立，则， ，， 令， 所以为减函数， 21. （本小题满分12分） 如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x2=4y相切于点A。 （1）       求实数b的值； （11） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程. 参考答案： （I）由得      () 因为直线与抛物线C相切,所以,解得………………4分 （II）由（I）可知,故方程()即为,解得,将其代入,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为………..12分 22. 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若△ABC的周长为3，求a的最小值. 参考答案： （1）；（2）1. 【分析】 （1）由正弦定理把条件转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得的关系式，从而可得结论. （2）由余弦定理并代入可得，结合基本不等式可得的范围，从而得出的最小值及此时取值. 【详解】（1）由已知及正弦定理得， 即， ∵， ∴. 又∵，∴. （2）∵， 化简得， ∵，∴， 代入式得， ∵，∴，即， 解得或（舍），当且仅当时取“”. ∴，即的最小值为1，此时，且为正三角形. 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本不等式的应用，解题时要注意边角关系的转化.求“角”时，常常把已知转化为角的关系，求“边”时，常常把条件转化为边的关系式，然后再进行转化变形.