河北省廊坊市十第一中学高二数学理下学期期末试卷含解析

河北省廊坊市十第一中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 过两直线和的交点，并与原点的距离等于 的直线有（   ）条 A. 0           B. 1             C. 2           D. 3 参考答案： B 2. 已知椭圆有相同的准线,则动点P (n, m)的轨迹为     A．椭圆的一部分                     B．双曲线的一部分     C．抛物线的一部分                   D．直线的一部分 参考答案： 解析:由已知得: , 化简为,轨迹为椭圆的一部分. 故选A. 3. 下列结论正确的是（　　） A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使=λ B．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“?＜0’’ C．“若θ=，则cosθ=”的否命题为“若θ≠，则cosθ≠” D．若命题p：?x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：?x∈R，x2﹣x+1＞0 参考答案： C 【考点】2K：命题的真假判断与应用． 【分析】根据向量共线定理判断A，向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“?＜0，且向量，不共线”，可判断B，条件否定，结论否定，可判断C；命题p：?x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：?x∈R，x2﹣x+1≤0，可判断D． 【解答】解：若向量∥，≠，则存在唯一的实数λ使=λ，故A不正确； 已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“?＜0，且向量，不共线”，故不正确； 条件否定，结论否定，可知C正确； 若命题p：?x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：?x∈R，x2﹣x+1≤0，故D不正确． 故选：C． 4. 已知数列是公比为2的等比数列，满足.设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．34         B．39       C.51         D．68 参考答案： D 分析：由题意求得等差数列的首项和公差，然后根据等差数列的求和公式求解． 详解：在等比数列中，由可得 ， 解得． ∴， ∴． 故选D．   5. 24名同学报名参加数学、物理、化学竞赛，若每人限报一项，则不同的报名方法种数是(    ) A. 34           B. 43           C.         D. 参考答案： A 略 6. 已知且关于x的函数在R上有极值，则与的夹角范围是（    ） A．        B．        C．        D． 参考答案： C 7. 一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（　　）只蜜蜂． 　 A． 55986 B． 46656 C． 216 D． 36 参考答案： B 略 8. 不等式的解集为（   ） A．             B．    C．           D． 参考答案： C 9. 在空间四边形中,，，，点在线段上，且,为的中点，则等于（    ） A             B           C            D 参考答案： B 10. 平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2， ?=4，点P在边CD上，则?的取值范围是（　　） A．[﹣1，8] B．[﹣1，+∞） C．[0，8] D．[﹣1，0] 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】先根据向量的数量积的运算，求出A=60°，再建立坐标系，得到?=x（x﹣4）+3=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，构造函数f（x），利用函数的单调性求出函数的值域m，问题得以解决． 【解答】解：∵AB=4，AD=2， ?=4， ∴||?||cosA=4， ∴cosA=， ∴A=60°， 以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系， ∴A（0，0），B（4，0），D（1，）， 设P（x，），则1≤x≤5， ∴=（﹣x，﹣），=（4﹣x，﹣）， ∴?=x（x﹣4）+3=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， 设f（x）=（x﹣2）2﹣1， ∴f（x）在[1，2）上单调递减，在[2，5]上单调递增， ∴f（x）min=f（2）=﹣1，f（x）max=f（5）=8， ∴?的取值范围是[﹣1，8]， 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是       . 参考答案： 12. 观察下列等式：    12=1，     12—22=—3，     12—22+32=6，     12—22+32—42=-10，     ………………… 由以上等式推测到一个一般的结论：对于，12—22+32—42+…+（—1）n+1n2=     。 参考答案： 13. 短半轴长为，离心率的椭圆的两焦点为F1，F2，过点F1作直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长是            ． 参考答案： 12 14. 下列各数 、    、  、 中最小的数是___ 参考答案： 15. 已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：千克)服从正态分布.现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，则其中质量在区间(92,100)内的产品估计有________件. 附：若，则，. 参考答案： 3413 【分析】 可以根据服从正态分布，可以知道，根据，可以求出，再根据对称性可以求出，最后可以估计出质量在区间内的产品的数量. 【详解】解:，， 质量在区间内的产品估计有件. 【点睛】本题考查了正态分布，正确熟悉掌握正态分布的特点以及原则是解题的关键. 16. 过原点的直线与圆x2+y2+4x +3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是         ． 参考答案： y=X  略 17. 已知点M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，那么a等于　  ． 参考答案： 1 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的斜率． 【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出． 【解答】解：∵点M（0，﹣1），N（2，3）， ∴kMN==2， ∵直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0， ∴2×=﹣1，解得a=1． 故答案为1． 【点评】本题考查了相互垂直的直线的斜率之间关系，属于基础题． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，已知A、B两个城镇相距20公里，设M是AB中点，在AB的中垂线上有一高铁站P，PM的距离为10公里.为方便居民出行，在线段PM上任取一点O（点O与P、M不重合）建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到O处，再铺设快速路分别到A、B两处.因地质条件等各种因素，其中快速路PO造价为1.5百万元/公里，快速路OA造价为1百万元/公里，快速路OB造价为2百万元/公里，设，总造价为y (单位：百万元). （1）求y关于的函数关系式，并指出函数的定义域； （2）求总造价的最小值，并求出此时的值. 参考答案： （1），()（2）最小值为，此时 【分析】 （1）由题意，根据三角形的性质，即可得到； （2）构造函数，利用导数求得函数的单调性，即可求解函数的最值。 【详解】(1), ，， ， (2)设 则 令，又，所以. 当,,,单调递减； 当,,,单调递增； 所以的最小值为. 答：的最小值为(百万元)，此时 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，以及利用导数求解函数单调性与最值问题，其中解答中认真审题，合理建立函数的关系式，准确利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。 19. 一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):   轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆. （1）       求z的值.       （2）       用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率; （3）       用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,  8.6, 9.2,  9.6,  8.7,  9.3,  9.0,  8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 参考答案： 解析: (1).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400 (2) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为. (3)样本的平均数为, 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4,  8.6,   9.2,  8.7,  9.3,  9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为. 20. 已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且与椭圆+=1有相同的离心率． （Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求||的取值范围，若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）由已知条件得a=2，e=，由此能求出椭圆M的方程． （Ⅱ）不妨设存在圆C：x2+y2=r2，（r＞0），若l的斜率不存在，设l：x=r，得；若l的斜率存在，设l：y=kx+m，由l与C相切，将直线l方程代入椭圆M的方程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，由此能求出||的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆M： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4， ∴a=2， ∵椭圆M与椭圆+=1有相同的离心率， ∴e=， 解得c=2，∴b2=8﹣4=4， ∴椭圆M的方程为． （Ⅱ）不妨设存在圆C：x2+y2=r2，（r＞0） （i）若l的斜率不存在，设l：x=r，则A（r，y0），B（r，﹣y0）， 由，得， 又，两式联立消去y，得， ∴． （ii）若l的斜率存在，设l：y=kx+m， ∵l与C相切，∴，∴m2=r2（1+k2），① 又将直线l方程代入椭圆M的方程，得： （1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，（*） 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由韦达定理，得，， 由=0，得， 化简，得3m2=8+8k2，