辽宁省鞍山市望台中学高三数学理期末试卷含解析

辽宁省鞍山市望台中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数的图像如图，则下列结论正确的是（     ） A．，        B. ，   C. ，        D. ， 参考答案： B 2. 已知向量，且，则 A. 1 B. 5 C. -1 D. -5 参考答案： B 由可得， 所以所以，故选B. 3. 已知向量满足则向量所成夹角为               （    ） A.               B.                 C.             D.  参考答案： B 4. 已知各项为正数的等差数列的前20项和为100，那么的最大值为          (  ) A．25 B．50 C．100 D．不存在 参考答案： A 略 5. 已知实数a，b满足，设函数 ，则使f(a)≥f(b)的概率为   A．       B．        C．         D． 参考答案： 【知识点】概率  K3 D 解析：由题意可知a,b的值一定在的递减区间上，而在所表示的范围中，的概率是相等的，所以f(a)≥f(b)的概率为，所以D正确. 【思路点拨】由几何概型的计算方法可以求出概率. 6. 广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）： 广告费x 2 3 4 5 6 销售额y 29 41 50 59 71 由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（　　） A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.2 参考答案： C 【考点】线性回归方程． 【分析】求出数据中心，代入回归方程求出，再将x=10代入回归方程得出答案． 【解答】解：由题意， =4， =50． ∴50=4×10.2+，解得=9.2．∴回归方程为=10.2x+9.2． ∴当x=10时， =10.2×10+9.2=111.2． 故选：C． 【点评】本题考查了线性回归方程的特点与数值估计，属于基础题． 7. 若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】两角和与差的正弦函数． 【分析】由已知可得sinα＞0，cosα＜0，利用二倍角公式，两角差的正弦函数公式化简已知可得cosα+sinα=，两边平方，利用二倍角公式即可计算sin2α的值． 【解答】解：∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0， ∵3cos2α=sin（﹣α）， ∴3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα）， ∴cosα+sinα=， ∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=， ∴sin2α=2sinαcosα=﹣． 故选：D． 　 8. 函数的大致图像是 A                B               C               D 参考答案： B 略 9. 设，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是  (    ) A．若，，则    B．若，， 则 C．若，，则   D．若，，则 参考答案： D 10. 若对任意的，函数满足，则=  (    ） A．1             B．-1             C．2012           D．-2012 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 坐标系与参数方程) 直线被圆所截得的弦长为         ． 参考答案： 略 12. 观察下列等式：根据上述规律，第个等式为                                           参考答案： 【知识点】合情推理与演绎推理M1 由题意得，可得第n项为，所以第个等式为故答案为 . 【思路点拨】观察各个等式，找其中的规律，便可得到结果. 13. 已知集合，则A∩B=（   ） A. { 0,1,2} B. {1,2} C. {－1,0} D. {－1} 参考答案： B 【分析】 根据交集的概念，求得两个集合的交集. 【详解】依题意，故选B. 【点睛】本小题主要考查两个集合交集的概念和运算，属于基础题. 14. 函数y=log2|x+1|的单调递减区间为　　，单调递增区间为　　． 参考答案： （﹣∞，﹣1）, （﹣1，+∞）. 【考点】4N：对数函数的图象与性质． 【分析】去掉绝对值，判断对数函数y=log2|x+1|的单调性即可． 【解答】解：令x+1=0，解得x=﹣1； ∴当x＜﹣1时，函数y=log2|x+1|=log2（﹣x﹣1）是单调减函数， 其单调递减区间为（﹣∞，﹣1）； 当x＞﹣1时，函数y=log2|x+1|=log2（x+1）是单调增函数， 其单调递增区间为（﹣1，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）． 15. 设函数，则f（﹣2）+f（log212）=　     　． 参考答案： 6 【考点】函数的值． 【分析】先分别求出f（﹣2）=1+log24，f（log212）=，由此能求出f（﹣2）+f（log212）． 【解答】解：∵函数， ∴f（﹣2）=1+log24=3， f（log212）==3， ∴f（﹣2）+f（log212）=6． 故答案为：6． 16. 若的展开式中的系数是－80，则实数a=          ． 参考答案： －2 的展开式的通项为, 令,得,即,解得.   17. 已知均为单位向量，且它们的夹角为60°，当取最小值时，___________． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题满分13分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A （I）若求证：； （II）若求的值． 参考答案： （I）由题设知……………2分 所以 ………………4分 因为所以故         ……………………7分 （II）因为所以     ……………………8分 即 解得   ……………………11分 从而         ………………13分 19. （12分）如图，垂直于矩形所在的平面，，，、分别是、的中点    （I）求证：平面；    （Ⅱ）求证：平面平面；    （Ⅲ）求二面角的大小； 参考答案： 解析：解法一： （I）设为的中点，连结，   为的中点，为的中点， ==(//)==(//) ==(//)     （Ⅱ）   （Ⅲ）过点向作垂线，垂足为，连结，     解法二： 分别以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， （I）        （Ⅱ）设平面的一个法向量为        （Ⅲ）平面的一个法向量为       20. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为. （1）求曲线C的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； （2）设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的直角坐标为(1,0)，试求当时，的值. 参考答案： （1）曲线：，可以化为， ， 因此，曲线的直角坐标方程为， 它表示以为圆心、为半径的圆. （2）法一：当时，直线的参数方程为（为参数）， 点在直线上，且在圆内，把 代入中得， 设两个实数根为，，则，两点所对应的参数为，， 则，， ∴. 法二：由（1）知圆的标准方程为， 即圆心的坐标为，半径为，点在直线：上，且在圆内， ∴， 圆心到直线的距离， 所以弦的长满足， ∴. 21. （满分12分）已知双曲线C的渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线C的方程； （2）过F作斜率为k的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D， 求证：为定值. 参考答案： 解：（1）设双曲线方程为………………（2分） 由题知…………………………………（4分） 双曲线方程为：………………………………（5分） （2）设直线的方程为代入 整理得……………………（6分） 设的中点 则代入得：……………………………（7分） ……………………（8分） AB的垂直平分线方程为…………………（9分） 令得……………………………（10分） ……………………（11分） 为定值. ……………………………（12分） 略 22. (本小题满分12分) 如图，四棱锥中，, ,分别为 的中点 (Ⅰ)求证： (Ⅱ)求证： 参考答案：