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湖北省黄石市南湖中学2022-2023学年高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )
A.4 B.2 C.4 D.8
参考答案:
D
【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;L!:由三视图求面积、体积.
【分析】三视图复原的几何体是长方体的三分之二,依据三视图的数据,得出长方体长、宽、高,即可求出几何体的体积.
【解答】解:三视图复原的几何体是长方体,长方体长、宽、高分别是:2,2,3,
所以这个几何体的体积是2×2×3=12,
长方体被一个平面所截,得到的几何体的是长方体的三分之二,
如图所示,则这个几何体的体积为12×=8.
故选D.
【点评】此题考查了棱柱的体积和表面积,由三视图判断几何体,考查三视图的读图能力,计算能力,空间想象能力.
2. 命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( )
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
参考答案:
C
3. 如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C . D.
参考答案:
C
4. 在公差为d的等差数列{an}中,“d>1”是“{an}是递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据递增数列的性质结果充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【解答】解:若d>1,则?n∈N*,an+1﹣an=d>1>0,所以,{an}是递增数列;
若{an}是递增数列,则?n∈N*,an+1﹣an=d>0,推不出d>1,
故“d>1”是“{an}是递增数列”的充分不必要条件,
故选:A
5. 若直线与曲线有公共点,则b的取值范围是( )
A.[,] B.[,3]
C.[-1,] D.[,3]
参考答案:
D
6. 为了得到函数y=2sin2x的图象,可将函数y=4sin·cos的图象( )
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
参考答案:
C
略
7. 已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0相交,则圆C1与圆C2的公共弦长为( )
A. B. C. D.5
参考答案:
C
8. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
参考答案:
B
【考点】KJ:圆与圆锥曲线的综合;K8:抛物线的简单性质.
【分析】画出图形,设出抛物线方程,利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可.
【解答】解:设抛物线为y2=2px,如图:|AB|=4,|AM|=2,
|DE|=2,|DN|=,|ON|=,
xA==,
|OD|=|OA|,
=+5,
解得:p=4.
C的焦点到准线的距离为:4.
故选:B.
9. 复数 (i为虚数单位)的共轭复数是
A. 1+i B. 1?i C. ?1+i D. ?1?i
参考答案:
B
分析:化简已知复数z,由共轭复数的定义可得.
详解:化简可得z=
∴z的共轭复数为1﹣i.
故选:B.
点睛:本题考查复数的代数形式的运算,涉及共轭复数,属基础题.
10. 已知集合是平行四边形,是矩形,是正方形,
是菱形,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设双曲线的实轴长为2,焦点到渐近线的距离为,则双曲线的渐近线方程为 .
参考答案:
12. 已知集合A={0,1},B={y|x2+y2=1,x∈A},则A∪B= ,?BA的子集个数是 .
参考答案:
{﹣1,0,1},2.
【考点】1H:交、并、补集的混合运算.
【分析】分别求出集合A,B,由此能求出A∪B,?BA={﹣1},进而能求出?BA的子集个数.
【解答】解:∵集合A={0,1},B={y|x2+y2=1,x∈A}={0,﹣1,1},
∴A∪B={﹣1,0,1},
?BA={﹣1},
∴?BA的子集个数是2.
故答案为:{﹣1,0,1},2.
13. 在直角坐标系xoy中,已知曲线M:(t为参数)与曲线N:(为参数)相交于两个点A,B,则线段AB的长为___________
参考答案:
2
14. 从这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为 .
参考答案:
15. “渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数(如98765),若把所有的五位渐减数按从小到大的顺序排列,则第20个数为 .
参考答案:
65431
略
16. 设二项式的展开式中的常数项为 .
参考答案:
或 或
略
17. 一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为,则这个球的体积为______;
参考答案:
,提示:可把正四面体变为正方体的内接正四面体,此时正方体的棱长为于是球的半径为,
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题12分)已知函数,,其中.
(1)若是函数的极值点,求实数的值;
(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有≥成立,求实数的取值范围.
参考答案:
略
19. (本小题12分)已知函数=(x+1)Inx-x+1.
(1)若≤+ax+1,求a的取值范围;
(2)证明:(x-1)≥0
参考答案:
(1);(2)略.
20. 若函数f(x)=ax﹣+c(a,b,c∈R)的图象经过点(1,0),且在x=2处的切线方程是y=﹣x+3.
(Ⅰ)确定f(x)的解析式;
(Ⅱ)求f(x)的极值.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,得到关于a,b,c的方程组,解出即可;
(Ⅱ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可.
【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=a+,
将x=2代入y=﹣x+3中,得y=﹣2+3=1,
由题意知,即,解得:a=﹣3,b=8,c=11,
因此f(x)=﹣3x﹣+11,x≠0
(Ⅱ) 由f′(x)=﹣3+=0得,x=±,
当x∈(﹣∞,﹣)∪(,+∞)时,f′(x)<0;
当x∈(﹣,0)∪(0,)时,f′(x)>0,
所以f(x)的极小值是f(﹣)=11+4,f(x)的极大值是f()=11﹣4.
21. 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD中点.
(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值.
(2)求B点到平面PCD的距离.
(3)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面所成的角.
【分析】(1)先证明直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直,可得PO⊥平面ABCD,建立空间直角坐标系,确定平面POC的法向量,利用向量的夹角公式,即可求直线PB与平面POC所成角的余弦值.
(2)求出平面PDC的法向量,利用距离公式,可求B点到平面PCD的距离.
(3)假设存在,则设=λ(0<λ<1),求出平面CAQ的法向量、平面CAD的法向量=(0,0,1),根据二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为,利用向量的夹角公式,即可求得结论.
【解答】解:(1)在△PAD中PA=PD,O为AD中点,所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD.
又在直角梯形ABCD中,易得OC⊥AD;
所以以O为原点,OC为x轴,OD为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系.
则P(0,0,1),A(0,﹣1,0),B(1,﹣1,0),C(1,0,0),D(0,1,0);
所以,易证:OA⊥平面POC,
所以,平面POC的法向量,
所以PB与平面POC所成角的余弦值为 ….
(2),设平面PDC的法向量为,
则,取z=1得
B点到平面PCD的距离….
(3)假设存在,则设=λ(0<λ<1)
因为=(0,1,﹣1),所以Q(0,λ,1﹣λ).
设平面CAQ的法向量为=(a,b,c),则,
所以取=(1﹣λ,λ﹣1,λ+1),
平面CAD的法向量=(0,0,1),
因为二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为,
所以=,
所以3λ2﹣10λ+3=0.
所以λ=或λ=3(舍去),
所以=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
22. 已知直线l1:3x+4y﹣2=0与l2:2x+y+2=0的交点为P.
(Ⅰ)求交点P的坐标;
(Ⅱ)求过点P且平行于直线l3:x﹣2y﹣1=0的直线方程;
(Ⅲ)求过点P且垂直于直线l3:x﹣2y﹣1=0直线方程.
参考答案:
【考点】直线的一般式方程;两条直线的交点坐标.
【专题】计算题.
【分析】(Ⅰ)联立两直线的方程,得到一个关于x与y的二元一次方程组,求出方程组的解即可得到交点P的坐标;
(Ⅱ)根据两直线平行时,斜率相等,由直线l3的斜率设出所求直线的方程为x﹣2y+m=0,把第一问求出的P的坐标代入即可确定出m的值,进而确定出所求直线的方程;
(Ⅲ)根据两直线垂直时,斜率的乘积为﹣1,由直线l3的斜率求出所求直线的斜率,设出所求直线的方程,把P的坐标代入即可确定出所求直线的方程.
【解答】(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由,解得,
所以点P的坐标是(﹣2,2); …
(Ⅱ)因为所求直线与l3平行,
所以设所求直线的方程为 x﹣2y+m=0.
把点P的坐标代入得﹣2﹣2×2+m=0,得m=6.
故所求直线的方程为x﹣2y+6=0; …
(Ⅲ)因为所求直线与l3垂直,
所以设所求直线的方程为 2x+y+n=0.
把点P的坐标代入得 2×(﹣2)+2+n=0,得n=2.
故所求直线的方程为 2x+y+2=0. …
【点评】此题考查了直线的一般式方程,以及两直线的交点坐标,两直线方程的交点坐标的求法为:联立两直线的解析式组成方程组,求出方程组的解可得交点坐标,同时要求学生掌握两直线平行及垂直时斜率满足的关系.
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