辽宁省营口市锻压机床厂职业中学高三数学理月考试卷含解析

辽宁省营口市锻压机床厂职业中学高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图,四边形是正方形，延长至，使得.若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断正确的是……… ………………………………………（    ） （A）满足的点必为的中点. （B）满足的点有且只有一个. （C）的最大值为3. （D）的最小值不存在. 参考答案： C 当时，，此时位于处，所以（A）错误。当时，此时位于处, 当时，此时位于处,所以满足满足的点有且只有一个错误。所以(B)错误。将图象放入坐标系设正方形的边长为1，则,设,则由得，即。若点位于上，则，此时，，所以。若点位于上，则，此时，，所以。若点位于上，则，此时，，即，所以。若点位于上，则，此时，，即，所以。 若点位于上，此时，，所以。综上，即 的最大值是3，最小值为0.所以选C. 2. 已知全集，集合，，则为（   ） A．   B．        C．   D． 参考答案： C 略 3. 在边长为6的正中，点满足则等于____________.   参考答案： 24 略 4. 已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1的周长为 A.4　 　 B. 6 C. 8    D. 16 参考答案： C 　由题意知的周长为. 故选C. 5. 将一张边长为6 cm的纸片按如图l所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心)模型，如图2放置．若正四棱锥的正视图是正三角形(如图3)，则正四棱锥的体积是   参考答案： A【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2 ：∵图1中的虚线长为图2正四棱锥的底面边长，设为x， 又正四棱锥的正视图是正三角形，∴正四棱锥的斜高也为x， 由图1得x+=3，解得x=2，即正四棱锥的底面边长为2， ∴四棱锥的高为，∴四棱锥的体积V=×8×=。 【思路点拨】设正四棱锥的底面边长为x，根据正四棱锥的正视图是正三角形，可得正四棱锥的斜高也为x，利用图1求得x，再求得四棱锥的高．代入棱锥的体积公式计算． 6. 给出下列命题： ① 已知椭圆两焦点为，则椭圆上存在六个不同点，使得为直角三角形； ② 已知直线过抛物线的焦点，且与这条抛物线交于A、B两点，则｜AB｜的最小值为2； ③ 若过双曲线C：的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为， 为坐标原点，则； ④ 已知⊙,⊙，则这两圆恰有2条公切线； 其中正确命题的序号是    (     )     A．①③④     B．①②③     C．②③④     D．①②③④ 参考答案： A 略 7. 若直线过圆的圆心,则a的值为 （A）1           (B) 1           (C) 3          (D) 3[来源:Z&xx&k.Com] 参考答案： B 本题主要考查了圆和直线的方程以及直线和圆的位置关系，解题关键是把圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标。圆的方程可变为，因为直线经过圆的圆心，所以，即。故选B. 8. 如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且．在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长.则当点运动时， 最小值是（   ） （A）    （B）   （C）   （D） 参考答案： 【知识点】点、线、面间的距离计算 G11 B解析：点到平面距离就是点到直线的距离，所以点到点的距离等于点到直线的距离，因此点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，在面中作于，连接， 在中，，而，要想最小，只要最小即可，由题意易求得，所以最小值为22，故选B. 【思路点拨】注意到点到点的距离等于点到直线的距离，即点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，在中，，而，要想最小，只要最小即可. 9. 已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为的正方形，主视图与左视图是 边长为的正三角形，则其全面积是(    ) A.8             B.12           C.4(1+)          D.4 参考答案： B 10. 设等差数列的前项和为，若则(     ) A．7              B．6           C．5             D．4 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. =          ． 参考答案： 12. 在展开式中的系数为,则实数的值为           . 参考答案：   13. 已知i为虚数单位，复数，则等于_____． 参考答案： 【分析】 先分子分母同乘，化简得，所以. 【详解】解：因 所以 故答案为. 【点睛】本题考查了复数的概念与除法运算，属于基础题. 14. 的展开式中常数项是_______。（用数字作答） 参考答案： 60； 【分析】 利用二项展开式，得出的指数，令指数为零，求出参数的值，并将参数的值代入可求出这个展开式中的常数项。 【详解】的展开式的通项， 由，得，所以，常数项为，故答案为：。 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查指定项的系数问题，考查计算能力，属于基础题。 15. 函数的最小正周期等于_____. 参考答案： π 【分析】 利用降幂公式整理化简，再由三角函数的最小正周期求得答案. 【详解】因为函数 故最小正周期等于. 故答案为： 【点睛】本题考查求三角函数的最小正周期，属于基础题. 16. 如图4，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP ＝3，则   　    ． 参考答案： 18 设，则，= . 17. 若复数满足（i为虚数单位），则        ；        ． 参考答案： ；； 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知在平面内点P满足，M(-2 , 0)，N( 2, 0 )，O(0,0) （1）求点P的轨迹S； （2）直线与S交于点A，B，利用表示的面积函数表达式。 参考答案： （1）由题意可得点P的轨迹S是双曲线的右支： （2）因为直线与S交与点A，B，结合渐近线的斜率可得或 联立与，消元，可得： ，故 弦长= 又点O到直线AB的距离， == 因此，的面积函数表达式： ， 19. 已知f（x）=x2﹣alnx，a∈R． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值； （3）设g（x）=f（x）﹣2x，若g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：g（x1）+g（x2）＞﹣． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）求出f（x）的导数，对a讨论，导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间； （2）由（1）可得f（x）的最小值为﹣ln=1，令h（x）=x﹣xlnx，求出导数，单调区间和最值，即可得到a=2； （3）求出g（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x﹣alnx，x＞0．求得导数g′（x）=2x﹣2﹣=，由题意可得x1，x2（x1＜x2）为2x2﹣2x﹣a=0的两根，运用判别式大于0和韦达定理，求出g（x1）+g（x2）=x12﹣2x1﹣alnx1+x22﹣2x2﹣alnx2，化简整理可得m（a）=a﹣aln（﹣）﹣1，﹣＜a＜0，求得导数和单调性，即可得证． 【解答】解：（1）f（x）=x2﹣alnx的导数为f′（x）=2x﹣=，x＞0， 当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增； 当a＞0时，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增； 当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减； （2）当a＞0时，由（1）可得x=处f（x）取得极小值， 也为最小值，且为﹣ln， 由题意可得﹣ln=1， 令h（x）=x﹣xlnx，h′（x）=1﹣（1+lnx）=﹣lnx， 当x＞1时，h′（x）＜0，g（x）递减； 当0＜x＜1时，h′（x）＞0，g（x）递增． 即有x=1处h（x）取得极大值，且为最大值1， 则﹣ln=1的解为a=2； （3）证明：g（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x﹣alnx，x＞0． g′（x）=2x﹣2﹣=， 由题意可得x1，x2（x1＜x2）为2x2﹣2x﹣a=0的两根， 即有△=4+8a＞0，解得﹣＜a＜0， x1+x2=1，x1x2=﹣， g（x1）+g（x2）=x12﹣2x1﹣alnx1+x22﹣2x2﹣alnx2 =（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）﹣aln（x1x2） =1+a﹣2﹣aln（﹣）=a﹣aln（﹣）﹣1， 令m（a）=a﹣aln（﹣）﹣1，﹣＜a＜0， 可得m′（a）=1﹣（ln（﹣）+1）=﹣ln（﹣）＞0， 即有m（a）在（﹣，0）递增，可得m（a）＞m（﹣）， 由m（﹣）=﹣+ln﹣1=﹣﹣ln2＞﹣﹣1=﹣． 则有g（x1）+g（x2）＞﹣． 20. （12分）已知△ABC的面积S满足，且,与的夹角为．(1)求的取值范围； (2)求函数的最大值及最小值．   参考答案： (1)解：因为，与的夹角为与的夹角为 所以 2分 4分 又，所以，即， 又，所以． 6分 (2)解： 　　　　　 8分 因为，所以， 10分 从而当时，的最小值为3，当时，的最大值为． 12分     略 21. 不等式选讲     已知，． （I）求证：，； （II）若，求证：． 参考答案： （1）                                  ………………………5分 （2）     …………10分     略 22. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC=a． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若BC边上的高等于a，求cosA的值． 参考答案： 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理求和三角形的三角的关系，以及两角和的正弦公式sinB=cosB，即可求出B， （Ⅱ）设BC边上的高线为AD，运勾股定理和余弦定理，即可求得cosB，再由正弦定理，即可求出 【解答】解：（Ⅰ）因为bcosC+bsinC=a， 由正弦定理得，sinBcosC+sinBsinC=sinA． 因为A+B+C=π， 所以sinBcosC+sinBsinC=sin（B+C）． 即sinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC． 因为sinC≠0， 所以sinB=cosB． 因为cosB≠0，所以tanB=1． 因为B∈（0，π），所以． （Ⅱ）设BC边上的高线为AD，则． 因为，则，． 所以=，． 由余弦定理得=． 所以cosA=． 【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查运算能力，属于中档题．