浙江省金华市东阳职业中学高三数学理模拟试卷含解析

浙江省金华市东阳职业中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 给出下面类比推理命题：    ①“若a·3=b·3，则a=b”类推出“若a·0=b·0，则a=b”；    ②“若（a+b）c=ac+bc”类推出“”；    ③“”类推出“”；    ④“”类推出“”，    其中类比结论正确的个数为                                    （    ）    A．1                 B．2                 C．3               D．4 参考答案： A 2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为                       （      ） （A）             　           （B） （C）                           （D） 参考答案： A 3. 设U=A∪B，A={1,2,3,4,5}，B={10以内的素数}，则（  ） A. {2,4,7} B. C. {4,7} D. {1,4,7} 参考答案： D 【分析】 根据集合的交集和补集运算得到结果即可. 【详解】，， 由补集运算得到结果为：. 故选D. 【点睛】这个题目考查了集合的交集运算和补集运算，较为简单. 4. 设函数的定义域为R，是极大值点，以下结论一定正确的是（  ） A        B 是的极小值点 C 是的极小值点    D 是的极小值点 参考答案： D 略 5. 曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为(　　) A. B.    C. D. 参考答案： C 略 6. 已知函数，则函数的图像可能是 参考答案： C 7. 下列有关命题的说法正确的是（   ） A．命题“若”的否命题为：“” B．“”是“”的必要不充分条件 C.命题“”的否定是：“” D．命题“若”的逆否命题为真命题 参考答案： D 8. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　） 　 A． 54 B． 27 C． 18 D． 9 参考答案： 解：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥， 且底面为矩形，长6，宽3；体高为3． 则=18． 故选：C． 点评： 做三视图相关的题时，先要形成直观图，后要注意量的关系．属于基础题． 9. 已知关于的不等式有且只有一个实数解，函数，，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是                          A．          B．             C．           D． 参考答案： D 略 10. 已知点F1，F2分别是椭圆E：=1的左、右焦点，P为E上一点，直线l为∠F1PF2的外角平分线，过点F2作l的垂线，交F1P的延长线于M，则|F1M|=（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 参考答案： A 【分析】 由题意可得三角形PMF2为等腰三角形，|PM|=|PF2|，运用椭圆的定义，计算可得所求值． 【详解】如图，由直线1为∠F1PF2的外角平分线，l⊥F2M， 可得|PM|=|PF2|， 而椭圆E: 的a=5， 2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1M|=10， 故选：A． 【点睛】本题考查椭圆的定义，以及等腰三角形的性质，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知若使得成立，则实数a的取值范围是               。 参考答案： ，当时，函数递增；当时，函数递减，所以当时取得极小值即最小值。函数的最大值为，若使得成立，则有的最大值大于或等于的最小值，即。 12. 已知a，b，c∈R，且，则的最小值是_______. 参考答案： 13. 关于、的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则二阶行列式=        . 参考答案： 由增广矩阵可知是方程组的解，所以解得，所以行列式为。 14. 复数为纯虚数，则实数a的值为     ▲    ． 参考答案： 1   15. 已知关于的二次方程，若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，的范围是              ． 参考答案： 16. 在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为_____． 参考答案： 60 ①若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有种； ②若第一个出场的是女生（不是女生甲），则将剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有种. ∴所有的出场顺序的排法种数为. 故答案为. 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法： (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 17. 从8个男生和6个女生中选3人去观看一场乒乓球比赛，要求至少有一名男生参加，则不同的选法共有________________种．（请用数字作答） 参考答案：   344 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数，其导函数为，且. (Ⅰ)求曲线在点处的切线方程 (Ⅱ)求函数在[－1,1]上的最大值和最小值. 参考答案： (1) . (2) ，. 分析：（1）先由求出的值，再求出函数在点的切线方程；（2）先求出函数的极值，列表格，根据单调性求出最大值和最小值。 详解： (Ⅰ) ∵，∴.解得 ∴， ∴，. ∴曲线在点处切线方程为 (Ⅱ)出(Ⅰ)，当时，解得或 当变化时，，的变化情况如下表： - 0 + 单调递减 极小值 单调递增   ∴的极小值为 又， ∴，. 点睛：本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数最值的步骤等，属于中档题。求出的值是解题的关键。 19. （本小题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F. 求证： （1）； （2）AB2=BE?BD-AE?AC. 参考答案： （1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论； （2）由（1）知，BD?BE=BA?BF，再利用三角形△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE?BD-AE?AC． (1)连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠EFA=90° 则A、D、E、F四点共圆，∴∠DEA=∠DFA………………….5分 (2)由(1)知，BD?BE=BA?BF 又△ABC∽△AEF ∴ 即：AB?AF=AE?AC ∴ BE?BD-AE?AC =BA?BF-AB?AF =AB(BF-AF) =AB2………………….10分 20. （本题满分13分）如图，是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设． （Ⅰ）证明：PQ∥A1B1； （Ⅱ）是否存在，使得平面截面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 参考答案： （Ⅰ）证明：由正三棱柱的性质可知，上下两个底面平行， 且截面上底面=PQ，截面下底面ABC=AB， 由两个平面平行的性质定理可得 ……………………………………………………………………6分 （Ⅱ）假设存在这样的满足题设，分别取AB的中点D，PQ的中点E，连接DE， 由（Ⅰ）及正三棱柱的性质可知为等腰三角形，APQB为等腰梯形， 　 为二面角A－PQ－C的平面角，………………………………………8分 连接并延长交于F，由（Ⅰ）得， ………………………………………………………9分 在中求得，在中求得 若平面截面，则， ，将以上数据代入整理， 得，解得…………………………………………………13分 21. （12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成    绩的中位数是83. （1）求和的值； （2）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生， 求甲班至少有一名学生的概率.     参考答案： 【知识点】茎叶图的意义；概率.I2  K2 【答案解析】(1) ;(2)   解析：（1）因为甲班学生的平均分是85， 所以 ，所以   ----2分 因为乙班学生成绩的中位数是83，所以   ------3分 （2）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A,B  -------4分 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C,D,E  ----5分 从这五名学生中任意抽取两名共有10种情况：(A,B)  (A,C)  (A,D)  (A,E)  (B,C)  (B,D)  (B,E)  (C,D)  (C,E)  (D,E)    ------8分 其中甲班至少一名学生共有7种情况：(A,B) (A,C) (A,D) (A,E) (B,C) (B,D) (B,E) –------10分 记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M， 则    -----11分 答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生的概率为--12分【思路点拨】（1）根据茎叶图的意义、平均数、中位数的意义求出的值.（2）由茎叶图可知：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A,B. 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C,D,E. 从这五名学生中任意抽取两名共有10种情况：(A,B)  (A,C)  (A,D)  (A,E)  (B,C)  (B,D)  (B,E)  (C,D)  (C,E)  (D,E) . 其中甲班至少一名学生共有7种情况：(A,B) (A,C) (A,D) (A,E) (B,C) (B,D) (B,E) 记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M， 则 . 22. 已知椭圆C：的离心率为，过C的左焦点做x轴的垂线交椭圆于P、Q两点，且. （1）求椭圆C的标准方程及长轴长； （2）椭圆C的短轴的上下端点分别为A、B，点，满足，且，若直线AM、BM分别与椭圆C交于E、F两点，且面积是面积的5倍，求m的值. 参考答案： （1）椭圆的标准方程为：，长轴长为4（2） 【分析】 (1)根据通径与椭圆的基本量的关系求解即可. (2)分别设直线,直线的方程,联立椭圆的方程,再利用三角形的面积公式表达出面积是面积的5倍,再代入韦达定理求解即可. 【详解】解：（1）因为椭圆的左焦点横坐标为, 由及,得, 故,又,解得：, 所以,椭圆的标准方程为：,长轴长为4. （2）∵,,,且, ∴直线的斜率为,直线斜率为, ∴直线的方程为,直线的方程为, 由得,∴,,∴, 由得,∴,,∴； ∵, , ,, ∴, 即, 又, ∴, 整理方程得：, 解得：. 【点睛】本题主要考查了椭圆中基本量的运算以及直线与椭圆相交求面积的方法等.需要联立方程求解对应的面积表达式,代入韦达定理化简求得参数.属于难题.