辽宁省沈阳市道义中学高三数学理期末试卷含解析

辽宁省沈阳市道义中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（　　） A．9 B．121 C．130 D．17021 参考答案： B 【考点】程序框图． 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当c=16900时，不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121． 【解答】解：模拟执行程序，可得 a=1，b=2，c=3 满足条件c＜2016，a=2，b=9，c=11 满足条件c＜2016，a=9，b=121，c=130 满足条件c＜2016，a=121，b=16900，c=17021 不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121． 故选：B． 【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查． 2. .已知的值为 A. B. C. D.2 参考答案： C ，选C. 3. 将的图象向右平移个单位后，所得图象的解析式是（   ） A．    B．    C．     D． 参考答案： A 试题分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 故选A. 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数． 4. 若，则复数（      ）． A．          B．           C．     D． 参考答案： A 5. 设圆锥曲线的两个焦点分别为、，若曲线上存在点满足：：=4：3：2，则曲线的离心率等于（  ） （A）                 （B）                （C）             （D）  参考答案： D 6. 点P在双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦点分别为F1，F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心，a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由题意，线段PF1的垂直平分线恰过点F2，垂直为D，则yA=yp，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：由题意，线段PF1的垂直平分线恰过点F2，垂直为D，则yD=2yA=yp，yA=yp， ∴==， 故选：D． 7. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以湉《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为（  ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 设包含7块板的正方形边长为4，其面积为16，计算雄鸡的鸡尾面积为2，利用几何概型概率计算公式得解。 【详解】设包含7块板的正方形边长为4，其面积为 则雄鸡的鸡尾面积为标号为6的板块，其面积为 所以在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了几何概型概率计算，考查观察能力，属于基础题。 8. 已知，，则（     ） A．   B．   C．    D． 参考答案： C   9. 在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为 （A）4 （B）5       （C）  6      （D） 7 参考答案： B 略 10. 已知f（x）为奇函数，函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x+1对称，若g（1）=4，则f（﹣3）=（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．4 参考答案： B 【考点】抽象函数及其应用． 【分析】根据函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x+1对称，可得f（3）=2，结合f（x）为奇函数，可得答案． 【解答】解：∵函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x+1对称， （1，4）点与（3，2）点关于直线y=x+1对称， 若g（1）=4，则f（3）=2， ∵f（x）为奇函数， ∴f（﹣3）=﹣2， 故选：B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若|AB|=，则圆C的面积为       . 参考答案： 4π 试题分析：圆C：x2+y2-2ay-2=0即C：x2+(y-a)2=a2+2，圆心为C(0，a)，由|AB|=，圆心C到直线y=x+2a的距离为，所以得，得a2=2，所以圆的面积为π(a2+2)=4π. 12. 甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有　　种． 参考答案： 60 【考点】排列、组合及简单计数问题． 【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案． 【解答】解：根据题意，采用间接法： ①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100， ②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30， 故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种． 故答案为60． 13. 不等式的解集为             ． 参考答案： 14. 已知向量，．若向量与共线，则实数_________ 参考答案： ; 由可得，　 15. 设等比数列的公比为，前项和为．则 “”是“”　　　的条件． 参考答案： 充分不必要条件 16. 对于实数表示不超过的最大整数，观察下列等式： 参考答案： 17. 若是纯虚数，则的值为          ． 参考答案： 试题分析：∵是纯虚数，∴，，∴，，∴，∴，故答案为：. 考点：复数的基本概念. 【思路点晴】本题考查复数的基本概念，考查同角三角函数之间的关系，是一个基础题，解题的过程中注意纯虚数的等价条件，根据复数是一个纯虚数，得到这个复数的实部为，虚部不为，解出关于的正弦的值和余弦不等于的值，根据三角恒等式 从而得到这个角的余弦值，根据同角的三角函数关系 ，得到正切值． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 春节期间，某微信群主发60个随机红包（即每个人抢到的红包中的钱数是随机的，且每人只能抢一个），红包被一抢而空，后据统计，60个红包中钱数（单位：元）分配如下频率分布直方图所示（其分组区间为[0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5））． （1）试估计该群中某成员抢到钱数不小于3元的概率； （2）若该群中成员甲、乙两人都抢到4.5元红包，现系统将从抢到4元及以上红包的人中随机抽取2人给群中每个人拜年，求甲、乙两人至少有一人被选中的概率． 参考答案： 【考点】频率分布直方图． 【专题】概率与统计． 【分析】（1）根据频率分布直方图，求出不小于3的频率是多少即可； （2）利用列举法计算基本事件数以及对应的概率是多少． 【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得； 该群中抢到红包的钱数不小于3元的频率是 1﹣0.05﹣0.20﹣0.40=0.35， ∴估计该群中某成员抢到钱数不小于3元的概率是0.35； （2）该群中抢到钱数不小于4元的频率为0.10，对应的人数是60×0.10=6， 记为1、2、3、4、甲、乙； 现从这6人中随机抽取2人，基本事件数是12，13，14，1甲，1乙， 23，24，2甲，2乙，34，3甲，3乙，4甲，4乙，甲乙共15种； 其中甲乙两人至少有一人被选中的基本事件为 1甲，1乙，2甲，2乙，3甲，3乙，4甲，4乙，甲乙共9种； ∴对应的概率为P==． 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目． 19. 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为k，当k≥85时，产品为一级品；当75≤k＜85时，产品为二级品；当70≤k＜75时，产品为三级品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（以下均视频率为概率） A配方的频数分布表                             B配方的频数分布表 指标值分组 [75，80） [80，85） [85，90） [90，95）   指标值分组 [75，80） [80，85） [85，90） [90，95） [75，80） 频数 10 30 40 20 频数 5 10 15 40 30 （1）若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C，求事件C的概率P（C）； （2）若两种新产品的利润率与质量指标值k满足如下关系：y=（其中＜t＜），从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？ 参考答案： 【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（1）先求出P（抽中二级品）=，由此能求出事件C的概率P（C）． （2）分别求出A的分布列，E（A）和B的分布列E（B），由此能求出从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大． 【解答】解：（1）P（抽中二级品）=，P（没抽中二级品）=， P（C）=1﹣（）3=． （3）A的分布列为： y t 5t2 P 0.6 0.4 ∴E（A）=0.6t+2t2 B的分布列为： y t 5t2 t2 P 0.7 0.25 0.05 ∴E（B）=0.7t+1.3t2 ∵＜t＜， ∴E（A）﹣E（B）=t（t﹣）＞0， ∴E（A）较大，投资A． 20. （本小题满分14分）设椭圆 ，其长轴长是短轴长的倍，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上横坐标大于的动点，点在轴上，圆内 切于，试判断点在何位置时的面积最小，并证明你的判断. 参考答案： （1） （2）函数在上单调递减，当时，取到最小值，此时，即点的横坐标为时，的面积最小. 知识点：椭圆方程的求法；点在何处时三角形面积最小的判断和证明；函数的单调性的合理运用． 解析 ：解：（1）由已知，，解得：， 故所求椭圆方程为.    （2）设，. 不妨设，则直线的方程为 即，又圆心到直线的距离为， 即，化简得， 同理，，∴是方程的两个根， ∴，则， ∵是椭圆上的点，∴，∴. 则， 令，则，令， 化简，得，则， 令，得，而， ∴函数在上单调递减，当时，取到最小值， 此时，即点的横坐标为时，的面积最小. 思路点拨：（1）由已知条件推导出，，解得，由此能求出椭圆方程．（2）设，.不妨设，由已知条件推导出m，n是方程(x0?2)x2+2y0x?x0＝0的两个根，由此能求出点P的横坐标为时，△PBC的面积S最小． 21. 2017年《诗词大会》火爆荧屏，某校为此举办了一场主题为“爱诗词、爱祖国”的诗词知识竞赛，从全校参赛的600名学生中抽出60人的成绩（满分100分）作为样本.对这60名学生的成绩进行统计，并按，分组，得到如图所示的频率分布直方图. （Ⅰ）若规定60分以上（含60分）为及格，试估计全校及格人数； （Ⅱ）若同一组数据用该组区间的中点值代表，估计参加这次知识竞赛的学生的平均成绩； （Ⅲ