福建省三明市济村中学2022年高二数学理下学期期末试题含解析

福建省三明市济村中学2022年高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 空间直角坐标系中，点A(-3，4，0)与点B(2，-1，6)之间的距离为 (A)          (B)          (C)          (D)9 参考答案： C 2. 直线l：x+y+1=0的倾斜角为（　　） A．45° B．135° C．1 D．﹣1 参考答案： B 【考点】直线的倾斜角． 【专题】转化思想；三角函数的求值；直线与圆． 【分析】设直线l：x+y+1=0的倾斜角为θ，则tanθ=﹣1，θ∈[0°，180°），解出即可． 【解答】解：设直线l：x+y+1=0的倾斜角为θ， 则tanθ=﹣1，θ∈[0°，180°）． 解得θ=135°， 故选：B． 【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3. 中心在原点、焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（　　） A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1 参考答案： A 【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程． 【分析】先根据长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，即可确定椭圆的几何量，从而可求椭圆的方程． 【解答】解：∵长轴长为18 ∴2a=18，∴a=9， 由题意，两个焦点恰好将长轴三等分 ∴2c=×2a=×18=6， ∴c=3， ∴a2=81， ∴b2=a2﹣c2=81﹣9=72， 故椭圆方程为 故选A． 4. 已知条件p：|x﹣1|＜2，条件q：x2﹣5x﹣6＜0，则p是q的（　　） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 参考答案： B 【考点】充要条件． 【分析】通过解不等式，先化简条件p，q，再判断出条件p，q中的数构成的集合间的关系，判断出p是q的什么条件． 【解答】解：条件p：|x﹣1|＜2即﹣1＜x＜3， 条件q：x2﹣5x﹣6＜0即﹣1＜x＜6， ∵{x|﹣1＜x＜6}?{x|﹣1＜x＜3}， ∴p是q的充分不必要条件． 故选B 5. 设，曲线在点处切线的斜率为2,则 (  ) A.              B.               C.             D. 参考答案： B 6. 椭圆，为上顶点，为左焦点，为右顶点，且右顶点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（  　　） A. B.    C. D. 参考答案： B 略 7. 已知函数，如果，则实数t的取值范围是（） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 由函数，求得函数的单调性和奇偶性，把不等式，转化为，即可求解． 【详解】由函数，可得，所以函数为单调递增函数， 又由，所以函数为奇函数， 因为，即， 所以，解得，故选A． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8. 数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（　　） A．an=n2﹣（n﹣1） B．an=n2﹣1 C．an= D． 参考答案： C 【考点】数列的概念及简单表示法．  【专题】点列、递归数列与数学归纳法． 【分析】仔细观察数列1，3，6，10，15…，便可发现其中的规律：第n项应该为1+2+3+4+…+n=，便可求出数列的通项公式． 【解答】解：设此数列为{ an}，则由题意可得 a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，… 仔细观察数列1，3，6，10，15，…可以发现： 1=1， 3=1+2， 6=1+2+3， 10=1+2+3+4， … ∴第n项为1+2+3+4+…+n=， ∴数列1，3，6，10，15…的通项公式为an=， 故选C． 【点评】本题考查了数列的基本知识，考查了学生的计算能力和观察能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于基础题． 9. 函数的图象可能是（    ） A．                                   B．                              C．                                D．     参考答案： D 10. 已知a>0，b>0，a＋b＝4，则下列各式中正确的不等式是(　　) A．≥1         B．＋≥2       C．≥2           D． ＋≤ 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在空间直角坐标系中，已知点M（1，0，1），N（-1，1，2），则线段MN的长度为____________ 参考答案： 【分析】 根据两点间距离公式计算． 【详解】． 故答案为． 【点睛】本题考查空间两点间距离公式，属于基础题． 12. 在等差数列中,已知,则____________________. 参考答案： 20 略 13. 已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=，cosC=，a=1，则b=_________. 参考答案： 因为cosC=，所以，因为，所以 因为， 所以，所以 【点睛】（1）正弦定理的简单应用常出现在选择题或填空题中，一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化． （2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． （3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解． 14. 已知直线与椭圆相交于两点，且 为坐标原点)，若椭圆的离心率，则的最大值为          ． 参考答案： 15. 过抛物线于四点,从左至右分别记为A,B,C,D,则= ． 参考答案： 1 16. 已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形是边长为的正方形，则这个四面体的主视图的面积为________. 参考答案： 略 17. 两圆与的公切线条数为           . 参考答案： 2 题中所给圆的标准方程即：与， 两圆的圆心坐标为：，圆心距：， 由于，故两圆相交， 则两圆公切线的条数为2.   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足，. （1）求{an}的通项公式； （2）求的值. 参考答案： （Ⅰ）设等差数列的公差为， 由，得， 则有， 所以， 故（）. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， 则 所以 19. （本小题10分） 已知展开式中的二项式系数的和比展开式的二项式系数的和大,求展开式中的系数最大的项和系数最小的项. 参考答案： 20. 解不等式：。 参考答案： 解：由 得或 ① 由 得 ② 由①、②得 或 不等式的解集为 略 21. 如图所示，抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点为F，C上的一点M（4，m）满足|MF|=4． （1）求抛物线C的标准方程； （2）过点E（﹣1，0）作不经过原点的两条直线EA，EB分别与抛物线C和圆F：x2+（y﹣2）2=4相切于点A，B，试判断直线AB是否经过焦点F． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（1）由椭圆的定义可知：|MF|=m+=4，及16=2pm，联立即可求得p的值，求得抛物线C的标准方程； （2）由题意设直线EA：x=ky﹣1，代入抛物线方程，根据△=0，求得斜率k，求得A点坐标，同理求得B点坐标，求得直线AB的方程，即可求得直线AB是否经过焦点FF（0，2）． 【解答】解：（1）抛物线C的准线方程为， ∴|MF|=m+=4， 由M（4，m）在椭圆上， ∴16=2pm， ∴p2﹣8p+16=0，解得p=4， ∴抛物线C的标准方程为x2=8y… （2）设EA：x=ky﹣1，联立，消去x得：k2y2﹣（2k+8）y+1=0， ∵EA与C相切， ∴△=（2k+8）2﹣4k2=0，解得k=﹣2， ∴，求得，… 设EB：x=ty﹣1，联立，消去x得：（t2+1）y2﹣（2t+4）y+1=0， ∵EB与圆F相切， ∴△=（2t+4）2﹣4（t2+1）=0，即， ∴，求得，… ∴直线AB的斜率， 可得直线AB的方程为，经过焦点F（0，2）… 22. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知acos2+ccos2=b （1）求证：a、b、c成等差数列； （2）若B=，S=4 求b． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式变形，整理后再利用正弦定理化简，利用等差数列的性质判断即可得证； （2）利用三角形面积公式列出关系式，把sinB与已知面积代入求出ac的值，利用余弦定理列出关系式，整理得出b的值即可． 【解答】解：（1）由正弦定理得：sinAcos2+sinCcos2=sinB， 即sinA?+sinC?=sinB， ∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB， ∵sin（A+C）=sinB， ∴sinA+sinC=2sinB， 由正弦定理化简得：a+c=2b， ∴a，b，c成等差数列； （2）∵S=acsinB=ac=4， ∴ac=16， 又b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac， 由（1）得：a+c=2b， ∴b2=4b2﹣48，即b2=16， 解得：b=4．