江西省赣州市南桥中学高二数学理模拟试题含解析

江西省赣州市南桥中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 复数                                          （   ） A、0           B、2           C、-2i            D、2i 参考答案： D 略 2. 设x、y满足约束条件的最大值为                                      （    ）        A．0      B．2       C．3      D． 参考答案： D 3. 曲线在点(1,－3)处的切线方程为（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 根据导数的几何意义，求出切线的斜率，由点斜式写出切线方程。 【详解】， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，故选A。 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及曲线在某点处的切线求法。 4. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 (    ) A.　　　 　　　　 B．4   　　　     C．3   　　　　　    D．5 参考答案： A 5. =－1是直线和直线垂直的（    ）        A．充分不必要条件                                         B．必要不充分条件        C．充要条件                                                   D．既不充分也不必要条件 参考答案： A  6. 在中，点M是BC中点，若，，则的最小值是（  ） A.       B.        C.      D. 参考答案： D 7. 若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】数列的概念及简单表示法． 【分析】由数列的前4项分别是，可知：第n项的符号为（﹣1）n+1，其绝对值为．即可得出． 【解答】解：由数列的前4项分别是， 可知：第n项的符号为（﹣1）n+1，其绝对值为． 因此此数列的一个通项公式为an=． 故选：C． 8. 若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（   ） A．   B．    C．   D． 参考答案： D 9. 已知实数x，y满足，则的最大值为（    ） A. -5 B. 0 C. 2 D. 4 参考答案： D 【分析】 做出不等式组对应的平面区域，设，利用其几何意义，进行平移即可得到结论. 【详解】解：作出不等式组，对应的平面区域如图， 由解得M（2，0） 由条件可知：过点M（2，0）时有， 故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划，由已知条件画出可行域后结合图像进行分析是解题的关键. 10. 已知非零向量、满足向量与向量的夹角为，那么下列结论中一定成立的是（  ） A．         B．        C．         D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是　　． 参考答案： 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】依题意可求得直线F1B的方程，与双曲线C的方程联立，利用韦达定理可求得PQ的中点坐标，从而可得线段PQ的垂直平分线的方程，继而可求得M点的坐标，从而可求得C的离心率． 【解答】解：依题意F1（﹣c，0），B（0，b）， ∴直线F1B的方程为：y﹣b=x，与双曲线C的渐近线方程联立得：b2x2﹣a2=0， 整理得：b2x2﹣2a2cx﹣a2c2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则x1，x2为上面方程的两根，由韦达定理得：x1+x2=，y1+y2=（x1+x2）+2b=， ∴PQ的中点N（，），又直线MN的斜率k=﹣（与直线F1B垂直）， ∴直线MN的方程为：y﹣=﹣（x﹣），令y=0得M点的横坐标x=c+=． ∵|MF2|=|F1F2|， ∴﹣c=2c． ∴c2=3b2=3（c2﹣a2）， ∴c2=a2， ∴e==． 故答案为：． 12. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_________ ． 参考答案： 略 13. 命题“如果，那么且”的逆否命题是______． 参考答案： 如果 或 ，则 【分析】 由四种命题之间的关系，即可写出结果. 【详解】命题“如果，那么且”的逆否命题是“如果 或 ，则 ”. 故答案为：如果 或 ，则 【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，熟记概念即可，属于基础题型. 14. 展开式中的一次项系数为   ▲　　． 参考答案： 55 15. 中，若三边a、b、c成等比数列，且，则        ． 参考答案： 略 16. 若f(a＋b)＝f(a)·f(b)，(a，b∈N)，且f(1)＝2，则________.     参考答案： 10 17. 设，分别是椭圆的左、右焦点．若点在椭圆上，且，则=__________． 参考答案： 0  略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分16分） 已知函数． （1）当时，解不等式；     (2）若方程在恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围（注：）； （3）当时，若在的最大值为，求的表达式． 参考答案： 解（1）当时，，，解得或．………………………2分 （2）由得，令，则 ，当时，．……………4分 当时，，此时递增；当时，，此时递减；所以，…………6分 又因为，，所以当时，恰好有两个相异的实根实数的取值范围为．……………8分   （3）,令得，．……………10分 当时，在上，所以在上递减，所以；   当时，在上，所以在上递减；在上，所以在上递增；在上递减，，，（注：以上可简化） 当时，解得或（舍去）． 当时，； 当时，．………………………14分   所以．………………………16分 19. 已知椭圆过点A（2，﹣）、B（﹣1，）求椭圆的标准方程，顶点坐标，焦点坐标及离心率． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程． 【分析】设出椭圆方程，利用椭圆经过的点的坐标，代入方程求解即可得到椭圆方程，然后求解顶点坐标，焦点坐标及离心率． 【解答】解：设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1依题意， 得，解得m=，n=，所求的椭圆方程为：， 顶点坐标（3，0），（﹣3，0），（0，4），（0，﹣4）． 焦点坐标（0，），（0，﹣）， 离心率e=． 20. （本小题满分12分）     已知函数 ，．    （Ⅰ）当  时，求函数  的最小值；    （Ⅱ）当  时，讨论函数  的单调性；    （Ⅲ）求证：当 时，对任意的 ，且，有． 参考答案： 解：显然函数的定义域为，当∴ 当，．∴在时取得最小值，其最小值为 （Ⅱ）∵， ∴（1）当时，若为增函数； 为减函数；为增函数． （2）当时，为增函数； 为减函数；为增函数． （3）当时， 在恒成立，即在为增函数 （Ⅲ）不妨设，要证明，即证明：当时，函数． 略 21. 椭圆C：过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点M的坐标为（2,0），设直线AM与BM斜率分别为，求证:. 参考答案： 解：（Ⅰ）因为椭圆：过点，所以.① 又因为离心率为，所以，所以.② 解①②得，. 所以椭圆的方程为.            ………………5分 法一：（Ⅱ）当直线斜率不存在时，因为，所以 当直线斜率存在时， 设直线，设与椭圆交点， 联立得 即， ，        ………………8分 =         因为 综上：命题得证.                      …………12分 法二：（Ⅱ）当直线斜率为0时，因为，所以 当直线斜率不为0时， 设直线，设与椭圆交点， 联立得 即， ，             ………………8分 综上：命题得证.                       …………12分 22. 已知函数. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若f(x)在区间(0,1)上存在极值点，求a的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】 （Ⅰ）根据导数的几何意义求解；（Ⅱ）根据极值点的定义域导函数与原函数的性质求解. 【详解】解：（Ⅰ） 当时，，. 所以，                                  所以 ，， 曲线在点处的切线方程为， 整理得                                     （Ⅱ）因为，. 所以，                       依题意，在区间上存在变号零点.               因为，设，所以在区间上存在变号零点.   因为，                                 所以，当时，，，所以，即， 所以在区间上为单调递增函数，                 依题意，      即                  解得  .                                    所以，若在区间上存在极值点，的取值范围是. 【点睛】高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围.