河北省承德市隆化县中学高三数学理模拟试卷含解析

河北省承德市隆化县中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 等差数列{an}满足a42＋a72＋2a4a7＝9，则其前10项之和为 (　   )． A．－9  B．－15 C．15  D．±15 参考答案： D 略 2. (2012·广州模拟)设命题p和q，在下列结论中，正确的是(　　) ①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件； ②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件； ③“p∨q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件； ④“綈p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件． A．①②                                      B．①③ C．②④                                      D．③④ 参考答案： B 3. 设命题p：函数y=f（x）不是偶函数，命题q：函数y=f（x）是单调函数，则p是q的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】由q?p，反之不成立．例如取f（x）=（x﹣1）2不是偶函数，但是此函数在R上不单调． 【解答】解：命题p：函数y=f（x）不是偶函数，命题q：函数y=f（x）是单调函数， 则q?p，反之不成立．例如f（x）=（x﹣1）2不是偶函数，但是此函数在R上不单调． 则p是q的必要不充分条件． 故选：B． 4.  已知∈(,)，sin=,则tan()等于（   ） A.－ B.7                C.            D.－7 参考答案： 答案：C  5. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x―5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是                       （    ）          Ａ．（―，）　     Ｂ．[―13，13]　　          Ｃ．[―，]　         Ｄ．（―13，13） 参考答案： D 6. 已知，为第一象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 参考答案： C 由题，，所以，所以选C. 7. 若函数在上单调递增，则a的取值范围是（   ） A．    B．  C．   D． 参考答案： A 试题分析：∵在区间上是增函数，∴，∴，即，，∴，令，则，∴在递减，∴，故答案为：．故选：A． 考点：（1）三角函数中的恒等变换应用；（2）正弦函数的图象. 8. 已知等比数列前n项和为，若,,则 A.                B.                C.            D. 参考答案： A 9. 二次函数f(x)的图像经过点（0， ），且f ’(x)= -x -1,则不等式f(10x)>0的解集为(   ) A. (-3，1)  B.( -lg3 ,  0)   C.(, 1 )  D. (-∞， 0 ) 参考答案： D 10. 已知集合,.设全集为,若,则实数的取值范围是.     (     )  A．    B．     C．    D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，，的夹角为60°，则      ． 参考答案： 略 12. 设为实数，且，则         。 参考答案： 答案：4 解析：， 而 所以，解得x＝－1，y＝5， 所以x＋y＝4。 13. 若数列满足，，则该数列的前项的乘积         . 参考答案： 2 14. “”是“函数在其定义域上为奇函数”的        条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 参考答案： 充分不必要 15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且b＝acosC＋csinA，则            。 参考答案： 16. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项是       ； 参考答案： 15 17. 给出下列4个结论： ①棱长均相等的棱锥一定不是六棱锥； ②函数既不是奇函数又不是偶函数； ③若函数的值域为R，则实数a的取值范围是； ④若函数f(x)满足条件,则的最小值为． 其中正确的结论的序号是：______. (写出所有正确结论的序号) 参考答案：   ①③④ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 【选修4-4：坐标系与参数方程】 点P是曲线上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2． （1）求曲线C1，C2的极坐标方程； （2）射线与曲线C1，C2分别交于A，B两点，设定点，求的面积． 参考答案： （1），；（2）． （1）曲线的圆心为，半径为2，把互化公式代入可得：曲线的极坐标方程为． 设，则，则有． 所以曲线的极坐标方程为． （2）到射线的距离为， ， 则． 19.  某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元米，中间两道隔墙建造单价为248元米，池底建造单价为80元米2，水池所有墙的厚度忽略不计. (1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价； (2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低. 参考答案： （1）设污水处理池的宽为米，则长为米 则总造价 （元） 当且仅当，即时取等号 当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元   (2）由限制条件知 设 在上是增函数， 当时（此时），有最小值，即有最小值   当长为16米，宽为米时，总造价最低 20. 已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围； （Ⅲ）求证：． 参考答案： 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：压轴题． 分析：利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间）， 对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况； （2）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围． （3）是近年来2015届高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解． 解答： 解：（Ⅰ） 当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为； 当a=0时，f（x）不是单调函数 （Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3 ∴， ∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2 ∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2 ∴ 由题意知：对于任意的t∈，g′（t）＜0恒成立， 所以有：，∴ （Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2， 由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增， ∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0， ∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立， ∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1， ∴ ∴ 点评：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，已知函数曲线上一点求曲线的切线方程即对函数导数的几何意义的考查，考查求导公式的掌握情况．含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题． 21. 某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N人参加，现将所有参加者按年龄情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七组，其频率分布直方图如下所示．已知[35，40）这组的参加者是8人． （1）求N和[30，35）这组的参加者人数N1； （2）已知[30，35）和[35，40）这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率； （3）组织者从[45，55）这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为x，求x的分布列和均值． 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）先求出年龄在[35，40）内的频率，由此能求出总人数和[30，35）这组的参加者人数N1． （2）记事件B为“从年龄在[30，35]之间选出的人中至少有1名数学教师”，记事件C为“从年龄在[35，40）之间选出的人中至少有1名数学教师”，分别求出P（B），P（C），由此能求出两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率． （3）年龄在[45，55）之间的人数为6人，其中女教师4人，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ． 【解答】解：（1）∵年龄在[35，40）内的频率为0.04×5=0.2， ∴总人数N==40人． ∵[30，35）这组的频率为：1﹣（0.01×2+0.02+0.03×2+0.04）×5=0.3， [30，35）这组的参加者人数N1为：40×0.3=12人． （2）记事件B为“从年龄在[30，35]之间选出的人中至少有2名数学教师”， ∵年龄在[30，35）之间的人数为12， ∴P（B）=1﹣=， 记事件C为“从年龄在[35，40）之间选出的人中至少有1名数学教师”， ∵年龄在[35，40）之间的人数为8， ∴P（C）=1﹣=， ∴两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率P（BC）==． （3）年龄在[45，55）之间的人数为6人，其中女教师4人， ∴ξ的可能取值为1，2，3， P（ξ=1）==， P（ξ=2）==， P（ξ=3）==， ∴ξ的分布列为： ξ 1 2 3 P Eξ==2． 22. （本小题满分12分）已知向量，， 设函数，. （1）求的最小正周期与最大值； （2）在中， 分别是角的对边，若的面积为，求的值. 参考答案： (1)              ……………… ……2分                        ……………… ……4分 ∴ 的最小正周期为＝，            ………………………5分 的最大值为5.                            ……………………6分 (2)由得，，即 ， ∵ , ∴， ∴                                  ………………………8分 又,  即,    ∴                                    ………………………10分 由余弦定理得， ∴