浙江省温州市宏德中学高三数学理模拟试卷含解析

浙江省温州市宏德中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，则 A．    B．    C．    D． 参考答案： B 2. 若集合，且，则集合Q不可能是（    ） A． B． C． D． 参考答案： C 3. 某年级200名学生的一次数学质量测验成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于70分的学生人数是 （A）140               （B）14 （C）36              （D）68   参考答案： A 4. 设定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若f（3）=1，且3f（x）+xf′（x）＞ln（x+1），则不等式（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0的解集为（　　） A．（2014，+∞） B．（0，2014） C．（0，2020） D．（2020，+∞） 参考答案： D 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；导数的运算． 【分析】利用函数的可导性，构造函数g（x）=x3f（x），利用函数的单调性以及不等式，转化求解不等式的解集即可． 【解答】解：定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），3f（x）+xf′（x）＞ln（x+1）， 所以3x2f（x）+x3f′（x）＞x2ln（x+1）＞0（x＞0），可得[x3f（x）]′＞0， 所以函数g（x）=x3f（x）在（0，+∞）是增函数， 因为（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0，且f（3）=1， 所以（x﹣2017）3f（x﹣2017）＞33f（3），即g（x﹣2017）＞g（3）， 所以x﹣2017＞3，解得x＞2020． 则不等式（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0的解集为：（2020，+∞）． 故选：D． 【点评】本题考查函数的导数，不等式的解集，不等式恒成立问题存在性问题，考查转化思想以及计算能力． 5. 与105有大于1的公约数的两位自然数的和是（   ） （A）2078           （B）2295           （C）2708           （D）3338 参考答案： C 6. 已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组，则的最大值等于 （A）            （B）                （C）           （D） 参考答案： B 7. 已知点分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为                                                                            （    ）        A．    B．    C．       D． 参考答案： B 8. 函数的值域为       (       ） A．         B．          C．        D． 参考答案： A 9. 设则“函数在R上是增函数”是“函数在R上是增函数”的     A．充分不必要条件                       B．必要不充分条件     C．充要条件                             D．既不充分也不必要条件 参考答案： D 当时，函数在R上为增函数，函数在R上不是增函数；当时，在上是增函数，在上不是增函数． 10. 由曲线xy=1，直线y=x，x=3及x轴所围成的曲边四边形的面积为（　　） A． B． C． D．4﹣ln3 参考答案： C 【考点】定积分在求面积中的应用． 【专题】计算题． 【分析】确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论． 【解答】解：由xy=1得， 由得xD=1， 所以曲边四边形的面积为： ， 故选C． 【点评】本题考查面积的计算，解题的关键是确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是     ; 参考答案：        12. 已知实数x、y满足，则的取值范围为______. 参考答案： 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可． 【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示， 联立，解得，得点. 则的几何意义是区域内的点与定点连线的斜率， 当直线从逆时针旋转至接近直线（不与直线重合）时，直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，此时，即； 当直线从逆时针旋转至直线时，直线的倾斜角从逐渐变大为锐角，此时. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合直线的斜率公式以及利用数形结合是解决本题的关键，属于中等题. 13. 已知向量和的夹角为120°，，则=　　． 参考答案： 7 略 14. 给定抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)，斜率为k的直线与C相交于M，N     两点，若线段MN的中点在直线x＝3上，则k＝________. 参考答案： ±　 过点A(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)，与抛物线方程联立后消掉y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，有x1＋x1＝，x1x2＝1.因为线段MN的中点在直线x＝3上，所以x1＋x2＝6，即＝6，解得k＝±.而此时k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0的判别式大于零，所以k＝± 15. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[100，110），[110，120），[120，130）三组内的学生中，用分层抽样的方法选取28人参加一项活动，则从身高在[120，130）内的学生中选取的人数应为  　． 参考答案： 12 【考点】频率分布直方图． 【分析】由频率分布直方图，先求出身高在[120，130）内的频率，再由分层抽样原理求出抽取的学生人数． 【解答】解：由频率分布直方图，得身高在[120，130）内的频率为： 1﹣（0.005+0.010+0.020+0.035）×10=0.3， 所以身高在[100，110），[110，120），[120，130）三组频率分别为0.05，0.35，0.3， 故三组的人数比为1：7：6； ∴用分层抽样的方法从三组选取28人参加一项活动， 从身高在[120，130）内的学生中抽取的人数应为： 28×=12． 故答案为：12． 16. 将参数方程（为参数，）化为普通方程， 所得方程是_____          _____. 参考答案： ()  略 17. 已知变量x，y满足约束条件，则目标函数：z= 3x -y的最大值是             。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500)  单位：元） （1）估计居民月收入在[1500，2000)的概率； （2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数； （3）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月收入在[2500，3500)的居民数X的分布和数学期望。   参考答案： 解： （Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，居民月收入在的概率约为 ．                                                 ……2分 （Ⅱ）频率分布直方图知，中位数在，设中位数为，则 ，                解得．                                                     ……6分 （Ⅲ）居民月收入在的概率为. 由题意知，～，                                           ……8分 因此，， ，， 故随机变量X的分布列为 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 ……10分 的数学期望为.……12分 19. （12分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且 （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC,,且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积. 参考答案： （1）∵ ∵ ∴ ∵ ∴ （2）由①知 ∵ 取AD中点O， 所以 ∴ ∴AO=2 ∴ ∴ =   20. 选修4—1：几何证明选讲      如图，已知切圆于点，是圆的直径, 交圆于点,是圆的切线，于, ,求的长. 参考答案： 21. 如图，三棱台ABC-EFG的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，，. （1）求证：； （2）若△ABC和梯形BCGF的面积都等于，求三棱锥的体积. 参考答案： （1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）取的中点为，连结.先证明平面，再证明；（2）先求出，再求出梯形的高h,再利用求解. 【详解】（1）由是三棱台得，平面平面， 从而. 取的中点为，连结. ∵，∴， ∴四边形为平行四边形，∴. ∵，为中点，∴，∴. ∵平面平面，且交线为，平面， ∴平面，而平面， ∴. （2）∵正三角形的面积为， ∴，.∴正三角形的面积. ∵梯形的面积等于，∴梯形的高. ∴. 【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22. （本题满分15分）设 （1） 当时，求函数的单调区间； （2） 若当时，，求实数的取值范围. 参考答案： 解：(1) 函数的定义域是，易证： 当时，， 则 ∴ 的单调递减区间是…………………………（6分）          (2) 由题得：            若，时，，即在是减函数                       故此时恒成立…………………（3分）            若，时，设                则，则得，                即在上递增，在上递减                ∴ 当时，                   故此时，，不符合题意………………（3分）            若，时， ，不符合            综上所述：所求的的取值是  ………………（3分） 略