2022年山西省阳泉市西小坪中学高二数学理期末试题含解析

2022年山西省阳泉市西小坪中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（　　） A．2 B．3 C．6 D．9 参考答案： D 【考点】函数在某点取得极值的条件；基本不等式． 【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等． 【解答】解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b， 又因为在x=1处有极值， ∴a+b=6， ∵a＞0，b＞0， ∴， 当且仅当a=b=3时取等号， 所以ab的最大值等于9． 故选：D． 2. 过点A(2，1)的直线交圆于B、C两点，当|BC|最大时，直线BC的方程是．     A．   B．     C．    D． 参考答案： A 3. i 是虚数单位，复数     （    ） A.1＋i       B.5＋5i       C.-5-5i       D.-1－i 参考答案： A 略 4. 已知不等式组表示的平面区域的面积等于3，则a的值为（　　） A．﹣1 B． C．2 D． 参考答案： D 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的区域，利用的平面区域的面积等于3，建立条件关系即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： ∵ax﹣y+2=0过定点A（0，2）， ∴ax﹣y+2≥0表示直线ax﹣y+2=0的下方， ∴a＞0，则由图象可知C（2，0）， 由，解得， 即B（2，2+2a）， 则△ABC的面积S=， 故a=， 故选：D． 5. 在四面体P-ABC的四个面中，是直角三角形的面至多有 A. 0个     B. 1个      C. 3个      D. 4个 参考答案： D 6. 设原命题为：“若空间两个向量与()共线，则存在实数，使得”则其逆命题、否命题、逆否命题为真的个数(  ) A．1 B．2    C．3 D．4 参考答案： C 考点：四种命题 7. 在梯形中，，，.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（    ）. （A） （B） （C） （D） 参考答案： C 8. “”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的                （   ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 略 9. 设函数在定义域内可导，的图象如右图所示，则导函数的图象可能为    参考答案： D 略 10. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（   ） A．不存在      B．有1条  C．有2条       D．有无数条 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y1﹣y2|=　　． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；作图题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意作图辅助，易知△ABF2的内切圆的半径长r=，从而借助三角形的面积，利用等面积法求解即可． 【解答】解：由题意作图如下， ， ∵△ABF2的内切圆周长为π， ∴△ABF2的内切圆的半径长r=， 又∵△ABF2的周长l=4a=16， 故S△ABF2=16×=4， 且S△ABF2=|F1F2|×|y1﹣y2|=3|y1﹣y2|， 故|y1﹣y2|=， 故答案为：． 【点评】本题考查了数形结合的思想应用及等面积法的应用．属于中档题． 12. 如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①-2是函数的极值点；②1是函数的极值点；③在处切线的斜率小于零；④在区间(－2,2)上单调递增.则正确命题的序号是_______.（写出所有正确命题的序号） 参考答案： ①④ 【分析】 根据导函数的图象和极值点和单调性之间的关系，对四个命题逐一判断. 【详解】命题①：通过导函数的图象可以知道，当时，，所以函数单调递减，当时，，所以函数单调递增，故-2是函数的极值点，故本命题是真命题； 命题②：通过导函数的图象可以知道，当时，，所以函数单调递增，当时，，所以函数单调递增，故1不是函数的极值点，故本命题是假命题； 命题③：由图象可知，所以在处切线的斜率大于零，故本命题是假命题； 命题④：由图象可知当时，，所以函数单调递增，故本命题是真命题，故正确命题的序号是①④. 13. 已知x＞0，y＞0， +=2，则2x+y的最小值为　　． 参考答案： 4 【考点】基本不等式． 【分析】由题意可得2x+y=（+）（2x+y）=（4+++），运用基本不等式即可得到最小值． 【解答】解：∵x＞0，y＞0， +=2， ∴2x+y=（+）（2x+y）=（4+++）≥（4+2）=4， 当且仅当y=2x=2时取等号． 故答案为：4． 14. 下列结论中： ①函数有最大值为； ②函数y=2﹣3x﹣（x＜0）有最大值2﹣4； ③若a＞0，则． 正确的序号为　　． 参考答案： ①③ 【考点】基本不等式． 【专题】函数思想；综合法；不等式． 【分析】由基本不等式求最值的规则，逐个验证可得． 【解答】解：由0＜x＜可得0＜1﹣2x＜1， ∴y=x（1﹣2x）=?2x?（1﹣2x）≤（）2=， 当且仅当2x=1﹣2x即x=时取等号， 故函数有最大值为，①正确； ∵x＜0，∴﹣x＞0，∴y=2﹣3x﹣=2+[（﹣3x）+（）] ≥2+2=2+4，当且仅当（﹣3x）=（）即x=时取等号， 故函数y=2﹣3x﹣（x＜0）有最小值2+4，②错误； ∵a＞0，∴（1+a）（1+）=2+a+≥2+2=4 当且仅当a=即a=1时取等号，故③正确； 故答案为：①③ 【点评】本题考查基本不等式，逐个验证是解决问题的关键，属基础题． 15. 点在动直线上的射影为，已知点，则线段长度的最大值是            . 参考答案： 略 16. 如图，设椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于A、B两点，若以△ABF2的内切圆的面积为π，设A（x1，y1）、B（（x2，y2），则｜y1﹣y2｜值为       ． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由已知△ABF2内切圆半径r=1．，从而求出△ABF2，再由ABF2面积=｜y1﹣y2｜×2c，能求出｜y1﹣y2｜． 【解答】解：∵椭圆+=1的左右焦点分别为F1，F2， 过焦点F1的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，△ABF2的内切圆的面积为π， ∴△ABF2内切圆半径r=1． △ABF2面积S=×1×（AB+AF2+BF2）=2a=10， ∴ABF2面积=｜y1﹣y2｜×2c=.｜y1﹣y2｜×2×3=10， ∴｜y1﹣y2｜=． 故答案为：． 【点评】本题考查两点纵坐标之差的绝对值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用． 17. 已知，设，则_____． 参考答案： 1023 【分析】 根据组合数公式性质可得；分别代入和求得和，作差即可得到结果. 【详解】    即： 代入可得： 代入可得： 本题正确结果： 【点睛】本题考查组合数的性质、二项展开式系数和的应用问题，对于与二项展开式系数和有关的问题，常采用特殊值的方式来求解. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分） 已知曲线： （为参数），：（为参数）． （Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线：（为参数）距离的最小值．       参考答案： 两式平方相加消去参数，得曲线的普通方程为：． 为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．………………6分 （Ⅱ）因为上的点对应的参数为，故，又为上的点，所以，故中点为． 19. 把一个正方体的表面涂上红色，在它的长、宽、高上等距离地各切三刀，则大正方体被分割成64个大小相等的小正方体，将这些小正方体均匀地搅混在一起，如果从中任取1个，求下列事件的概率 （1）事件A＝“这个小正方体各个面都没有涂红色” （2）事件B＝“这个小正方体只有1个面涂红色” （3）事件C＝“这个小正方体至少2个面涂红色” 参考答案： 解：（1）在大正方体表面的小正方体没有涂红色共8个            3分        5分 （2）在大正方体表面且不在棱上及顶点的小正方体只有1个面涂红色， 共24个                                                  8分                                                       10分 （3）                                        13分 20. 在平面直角坐标系xOy中,已知倾斜角为的直线l经过点.以坐标原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为 （1） 写出曲线C的普通方程; （2） 若直线l与曲线C有两个不同的交点M,N,求的取值范围.   参考答案： （1）由得，曲线的普通方程为 …5分 （2）将的参数方程代入的方程 整理得 因为直线与曲线有两个不同的交点.所以,化简得 又，所以，且 设方程的两根为，则 所以 所以 由，得.所以，从而 即的取值范围是.                                    ..……10分   21. 已知函数 （1）若是的极值点，求在上的最小值和最大值； （2）若上是增函数，求实数的取值范围． 参考答案： 解：（1）由题知：，得，所以 令，得(舍去)，又，，所以 （2）可知：在上恒成立，即在上恒成立，所以ks5u 略 22. （本小题满分12分）求以椭圆的焦点为焦点，且过点的双曲线的标准方程. 参考答案： 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在轴上 设双曲线的标准方程为     -----------------------2分 根据题意，                    -----------------------6分 解得或（不合题意舍去）    -----------------------10分 ∴双曲线的标准方程为-----------------------12分