河北省张家口市郭磊庄中学高三数学理上学期期末试题含解析

河北省张家口市郭磊庄中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 记函数，若曲线上存在点使得，则a的取值范围是（   ） A．               B． C．                         D． 参考答案： B 函数f（x）=在[﹣1，1]上单调递减． 曲线是增函数，故值域为，问题转化为函数f（x）=在上有解，在上有解，故a的范围是 故答案为：B.   2. 设，则二项式展开式中含    项的系数是    A． B．193    C． D．7 参考答案： 【知识点】定积分   二项式定理   B13  J3 A   解析：由于 则含项的系数为,故选择A. 【思路点拨】根据定积分的运算求出a的值，再找出二项式中的特定项. 3.  设直线过点其斜率为1，且与圆相切，则的值为（    ）.        A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 参考答案： 答案：C 4. 在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足，，则△ABC的面积为（　　） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 化简得，又由，得到，解得，由余弦定理，利用面积公式，即可求解． 【详解】由题意知，可得， 即，即， 又由，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，解得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得，解得， 所以三角形的面积， 故选D． 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换公式，以及余弦定理的应用，其中解答中熟练应用三角恒等变换的公式，化简求得，再根据余弦定理求得是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 5. 函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是  （  ▲  ） A.（-∞，2）     B.（0,3）     C.（1,4）   D.（2，+∞） 参考答案： D 略 6. 对于三次函数（），定义：设是函数的导数，若方程有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数的“拐点”．有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，若函数，则 =（  ）                                  （A）2010                   （B）2011     （C）2012       （D）2013 参考答案： A 7. 已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（   ） A．(－∞,0)         B．(0,+∞)       C.(0,1)         D． 参考答案： D 8. 若函数f（x）=2sin（x+）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）?=（　　） A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．32 参考答案： D 【分析】由f（x）=2sin（）=0，结合已知x的范围可求A，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解 【解答】解：由f（x）=2sin（）=0可得 ∴x=6k﹣2，k∈Z ∵﹣2＜x＜10 ∴x=4即A（4，0） 设B（x1，y1），C（x2，y2） ∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点 ∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0 则（+）?=（x1+x2，y1+y2）?（4，0）=4（x1+x2）=32 故选D 9. 已知||=2，||=1，与的夹角为60°，则（+2）（﹣3）的值等于（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 参考答案： B 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据平面向量数量积的定义，计算即可． 【解答】解：||=2，||=1，与的夹角为60°， 则（+2）（﹣3）=﹣?﹣6 =22﹣2×1×cos60°﹣6×12 =﹣3． 故选：B． 　 10. 若，则的值为（   ） A．3         B．5       C．        D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过点 且与直线垂直的直线方程为       参考答案： 12. 若 ，则目标函数的取值范围是           参考答案： 答案：   13. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积为　　． 参考答案： 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．据此可计算出表面积． 【解答】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥， 其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2， 边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高． 于是此几何体的表面积S=S△PAC+S△ABC+2S△PAB=++2×=． 故答案为：． 14. 假设某商店只有每盒10支装的铅笔和每盒7支装的铅笔两种包装类型．学生打算购买2015支铅笔，不能拆盒，则满足学生要求的方案中，购买的两种包装的总盒数的最小值是        ，满足要求的所有购买方案的总数为        ． 参考答案： 15. 已知函数f（x）的定义域为，部分对应值如下表． x ﹣1 0 4 5 f（x） 1 2 2 1 f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示： 下列关于f（x）的命题： ①函数f（x）是周期函数； ②函数f（x）在是减函数； ③如果当x∈时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4； ④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点； ⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是      ． 参考答案： ②⑤ 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的周期性；函数的零点；利用导数研究函数的单调性． 专题：阅读型． 分析：先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案． 解答： 解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图： 由图得：①为假命题．函数f（x）不能断定为是周期函数． ②为真命题，因为在上导函数为负，故原函数递减； ③为假命题，当t=5时，也满足x∈时，f（x）的最大值是2； ④为假命题，当a离1非常接近时，对于第二个图，y=f（x）﹣a有2个零点，也可以是3个零点． ⑤为真命题，动直线y=a与y=f（x）图象交点个数可以为0、1、2、3、4个，故函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 综上得：真命题只有②⑤． 故答案为：②⑤ 点评：本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减． 16. 将边长为2的正沿边上的高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为 _________;  参考答案： 略 17. 已知数列中，则_____________。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG. （1）确定点G的位置； （2）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.     参考答案： 解法一：（1）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2）， ………………3分 设G（0，2，h），则 ∴－1×0+1×（－2）+2h=0.  ∴h=1，即G是AA1的中点.  …………6分 （2）设是平面EFG的法向量，则 所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）…………10分 ∵ ∴， 即AC1与平面EFG所成角为  ………………15分 解法二：（1）取AC的中点D，连结DE、DG，则ED//BC …………1分 ∵BC⊥AC，∴ED⊥AC. 又CC1⊥平面ABC，而ED平面ABC，∴CC1⊥ED. ∵CC1∩AC=C，∴ED⊥平面A1ACC1. ……3分 又∵AC1⊥EG，∴AC1⊥DG.…………4分 连结A1C，∵AC1⊥A1C，∴A1C//DG. ∵D是AC的中点，∴G是AA-1的中点. …………6分 （2）取CC1的中点M，连结GM、FM，则EF//GM，   ∴E、F、M、G共面.作C1H⊥FM，交FM的延长线于H，∵AC⊥平面BB1C1C， C1H平面BB1C1C，∴AC⊥G1H，又AC//GM，∴GM⊥C1H. ∵GM∩FM=M， ∴C1H⊥平面EFG，设AC1与MG相交于N点，所以∠C1NH为直线AC1与平面EFG所成角θ. ……………………12分 因为 ……15分 略 19. (本小题满分10分)设函数 (1)求不等式的解集； (2)若不等式（，，）恒成立，求实数的范围． 参考答案： (1)，……3分   所以解集   ……2分 (2) 由 ，……2分    得，由，得，……1分 解得或   ……2分 20. （本小题满分12分） 已知函数 （1）求函数的单调递减区间； （2）设，的最小值是，最大值是，求实数的值． 参考答案： 解：            ……………………………2分        （1）           的单调减区间为：……………………6分 （注：单调减区间有等价形式同样得分，没有加扣2分。）        （2）               ……………………10分     （注：最大值与最小值少一个扣一分。）                ……………………………………12分 略 21. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，设M是圆C上任一点，连结OM并延长到Q，使|OM|=|MQ|． （Ⅰ）求点Q轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l与点Q轨迹相交于A，B两点，点P的直角坐标为（0，2），求|PA|+|PB|的值． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【专题】坐标系和参数方程． 【分析】（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，把代入即可得直角坐标方程：x2+y2=4x，设Q（x，y），则， 代入圆的方程即可得出． （Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入点Q的方程可得，利用根与系数的关系及其|PA|+|PB|=|t1+t2|即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=4x，配方为（x﹣2）2+y2=4， 设Q（x，y），则， 代入圆的方程可得， 化为（x﹣4）2+y2=16．即为点Q的直角坐标方程． （Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入（x﹣4）2+y2=16． 得 令A，B对应参数分别为t1，t2，则，t1t2＞0