辽宁省大连市第五十一中学高三数学理联考试卷含解析

辽宁省大连市第五十一中学高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 命题“若a，b都是奇数，则是偶数”的逆否命题是（    ）． A. 若两个整数a与b的和是偶数，则a，b都是奇数 B. 若两个整数a，b不都是奇数，则不是偶数 C. 若两个整数a与b的和不是偶数，则a，b都不是奇数 D. 若两个整数a与b的和不是偶数，则a，b不都是奇数 参考答案： D 【分析】 根据逆否命题的概念，即可写出结果. 【详解】解：由逆否命题定义可知： 命题“，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是：“若不是偶数，则，不都是奇数”． 故选D 【点睛】本题主要考查逆否命题，熟记四种命题间的关系即可，属于基础题型. 2. 已知，则“”是 “”的(    ) A．必要而不充分条件    　　　　　B．充要条件  C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 略 3. 若幂函数的图像不过原点，则实数m的取值范围为（    ） A. B. 或      C.       D. 参考答案： B 4. 没a，b为实数，则“ ”是“”的   (A)充分而不必要条件    (B)必要而不充分条件   (C)充分必要条件        (D)既不充分也不必要条件 参考答案： 5. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是(    ) A.       B. C.     D.   参考答案： D 【知识点】利用导数研究函数的极值；函数奇偶性的性质 解析：由题可知，B、C选项不是奇函数，A选项单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值．故选D. 【思路点拨】根据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论．   6. 设是等差数列的前n项和，已知则等于            （    ）     A．13   B．35   C．49   D．63 参考答案： C 因为数列是等差数列，所以，所以选C. 7. 过点和的直线斜率为，那么的值为（   ） A．1     B．4      C．1或3     D．1或4 参考答案： A 8. （5分）已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（） A． {y|0＜y＜} B． {y|0＜y＜1} C． {y|＜y＜1} D． ? 参考答案： A 考点： 交集及其运算． 专题： 计算题． 分析： 首先根据对数函数和指数函数的特点求出集合A和B，然后再求两个集合的交集即可． 解答： ∵集合A={y|y=log2x，x＞1}， ∴A=（0，+∞） ∵B={y|y=（）x，x＞1}， ∴B=（0，） ∴A∩B=（0，） 故选A． 点评： 本题考查了交集运算以及函数的至于问题，要注意集合中的自变量的取值范围，确定各自的值域． 9. 如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数n,那么空白框中的语句及最后输出的n值分别是    A. n=n+1和6　　B. n=n+2和6    C. n=n+1和8  　D. n=n+2和8 参考答案： D 10. 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为（　　） A．20%  369 B．80%  369 C．40%  360 D．60%  365 参考答案： A 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意列出方程组，由此能求出结果． 【解答】解：设“衰分比”为a，甲衰分得b石， 由题意得， 解得b=125，a=20%，m=369． 故选：A． 　 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 给出下列命题： ①函数内单调递增； ②函数的最小正周期为； ③函数的图形是关于直线成轴对称的图形； ④函数的图形是关于点成中心对称的图形. 其中正确命题有 . 参考答案： 答案：②④ 12. 在（﹣4，4）上随机取一个数x，则事件“|x﹣2|+|x+3|≥7成立”发生的概率为　　． 参考答案： 【考点】几何概型． 【分析】本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间（﹣4，4）的长度求比值即得． 【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度． 由不等式|x﹣2|+|x+3|≥7可得 x≤﹣3，﹣x+2﹣x﹣3≥7，∴x≤﹣4； ﹣3＜x＜2，﹣x+2+x+3≥7，无解； x≥2，x﹣2+x+3≥7，∴x≥3 故原不等式的解集为{x|x≤﹣4或x≥3}， ∴在（﹣4，4）上随机取一个数x，则事件“|x﹣2|+|x+3|≥7成立”发生的概率为P==． 故答案为． 13. 若，则f(x)的定义域为____________ 参考答案： 【分析】 根据幂函数和对数函数的性质即可求得。 【详解】由题解得 【点睛】本题考查函数定义域，属于基础题。 14. 已知点A（4，0），抛物线C：y2=2px（0＜p＜4）的准线为l，点P在C上，作PH⊥l于H，且|PH|=|PA|，∠APH=120°，则p=　　． 参考答案： ． 【分析】由抛物线的定义可知：丨PH丨=x1+，根据三角形的性质，即可求得P点坐标，代入抛物线方程，即可求得p的值． 【解答】解：设P（x1，y1），故P做PD⊥OA， 则由|PH|=|PA|，∠APH=120°，则∠APD=30°， 由抛物线的定义可知：丨PH丨=x1+， ∴|PA|=x1+，丨AD丨=4﹣x1， sin∠APD=，则x1=﹣， 则丨PD丨=丨AP丨cos∠APD=（+）， 则P（﹣，（+）），将P代入抛物线方程， 整理得：5p2﹣48p+64=0，解得：p=，或p=8（舍去）， ∴p的值， 故答案为：． 【点评】本题考查抛物线的定义及简单几何性质，三角形的性质，考查数形结合思想，属于中档题． 15. 在等腰直角△ABC中,,,M、N为AC边上两个动点,且满足,则的取值范围为________.   参考答案： 16. 已知、，且，，       ． 参考答案： ，所以，，所以。。因为，所以，所以，所以。 17. 已知椭圆与轴相切，左、右两个焦点分别为，则原点O到其左准线的距离为  ________．            参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设数列的首项，且，记． （1）求； （2）证明：是等比数列； （3）求数列的前项和．     参考答案： （1） ------------------2分 （2）证明： 因为，所以                                                                ------------------5分 即，------------------6分 而，所以是以为首项，公比为的等比数列-----------7分 注：若没写，扣一分 （3），所以= 所以    --------8分 两式相减得：--------10分 即 --------12分   略 19. 在直角坐标系中，圆C1：x2+y2=1经过伸缩变换后得到曲线C2，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cosθ+sinθ=． （Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）在C2上求一点M，是点M到直线l的距离最小，并求出最小距离． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【专题】综合题；转化思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由后得到曲线C2，可得：，代入圆C1：x2+y2=1，化简可得曲线C2的直角坐标方程，将直线l的极坐标方程为cosθ+sinθ=化为：ρcosθ+ρsinθ=10，进而可得直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）将直线x+y﹣10=0平移与C2相切时，则第一象限内的切点M满足条件，联立方程求出M点的坐标，进而可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）∵后得到曲线C2， ∴，代入圆C1：x2+y2=1得：， 故曲线C2的直角坐标方程为； 直线l的极坐标方程为cosθ+sinθ=． 即ρcosθ+ρsinθ=10，即x+y﹣10=0， （Ⅱ）将直线x+y﹣10=0平移与C2相切时，则第一象限内的切点M满足条件， 设过M的直线为x+y+C=0， 则由得：13x2+18Cx+9C2﹣36=0， 由△=（18C）2﹣4×13×（9C2﹣36）=0得：C=±， 故x=，或x=﹣，（舍去）， 则y=， 即M点的坐标为（，）， 则点M到直线l的距离d= 【点评】本题考查的知识点是简单的极坐标方程，直线与圆锥曲线的关系，难度中档． 20. （12分）（2014?黑龙江）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N． （1）若直线MN的斜率为，求C的离心率； （2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b． 参考答案： 【考点】椭圆的应用．  【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率； （2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直， ∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，）， 若直线MN的斜率为， 即tan∠MF1F2=， 即b2==a2﹣c2， 即c2+﹣a2=0， 则， 即2e2+3e﹣2=0 解得e=或e=﹣2（舍去）， 即e=． （Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点， 设M（c，y），（y＞0）， 则，即，解得y=， ∵OD是△MF1F2的中位线， ∴=4，即b2=4a， 由|MN|=5|F1N|， 则|MF1|=4|F1N|， 解得|DF1|=2|F1N|， 即 设N（x1，y1），由题意知y1＜0， 则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）． 即，即 代入椭圆方程得， 将b2=4a代入得， 解得a=7，b=． 【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度． 21. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数. (Ⅰ)若，求实数x的取值范围； (Ⅱ)设()，若g(x)的最小值为，求a的值. 参考答案： (Ⅰ)，即或或， ∴实数的取值范围是.                      ………………………5分 (Ⅱ)∵，∴，∴， 易知函数在时单调递减，在时单调递增， ∴. ∴，解得.                             ………………………10分   22. （本小题满分14分）某种商品的成本为5元/ 件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了