浙江省台州市市金清中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析

浙江省台州市市金清中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 等比数列{an}的首项a1=4，前n项和为Sn，若S6=9S3，则数列{log2 an }的前10项和为（ ） A. 65              B. 75         C. 90              D. 110 参考答案： A 设公比为，由，知，且，即，即，所以。 数列是以为首项， 公差为的等差数列， 于是数列的前10项和为：，故选A 2. 已知椭圆的两个焦点为F1（﹣，0），F2（，0），M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1||MF2|=8，则该椭圆的方程是（　　） A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1 参考答案： C 【考点】椭圆的标准方程． 【分析】设|MF1|=m，|MF2|=n，根据MF1⊥MF2，|MF1||MF2|=8，|F1F2|=2，利用勾股定理，椭圆的定义，求出a，可得b，即可求出椭圆的方程． 【解答】解：设|MF1|=m，|MF2|=n， ∵MF1⊥MF2，|MF1||MF2|=8，|F1F2|=2， ∴m2+n2=20，mn=8， ∴（m+n）2=36， ∴m+n=2a=6， ∴a=3， ∵c=， ∴b=2， ∴椭圆的方程是+=1． 故选：C． 3.  设函数，其中是的反函数，则对任意实数，是的（   ）             A. 充分必要条件                          B.充分而不必要条件    C.必要而不充分条件                  D.既不充分也不必要条件 参考答案： 答案:A 4. 函数的零点有（     ）   A.0个         B.1个           C.2个           D.3个 参考答案： B 由得，做出函数的图象，如图由图象中可知交点个数为1个，即函数的零点个数为1个，选B. 5. （08年宁夏、海南卷文）双曲线的焦距为（    ） A. 3         B. 4         C. 3         D. 4 参考答案： 【解析】由双曲线方程得，于是，选Ｄ 答案：D 6. 直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和上顶点B，该椭圆的离心率为(　　)．       A.   　　B.   C.   　　D. 参考答案： D 略 7. 在平面直角坐标系x O y中, 圆C 的方程为x2+y2-8 x+1 5=0, 若直线y=k x+2上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 半径为1的圆与圆C 有公共点, 则k的最小值是 （   ） A．－ B．－ C．－ D．－ 参考答案： A【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4 ∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点， ∴只需圆C′：（x-4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可． 设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤-4k， ∴-≤k≤0．∴k的最小值是． 【思路点拨】化圆C的方程为（x-4）2+y2=1，求出圆心与半径，由题意，只需（x-4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可． 8. 将面积为2的长方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角D-AC-B的大小为，则三棱锥D-ABC的外接球的体积的最小值是          （     ）     A．           B．          C．            D．与的值有关的数 参考答案： C 9. i是虚数单位，＝(　　)． A．1＋i   B．－1＋i  C．1－i   D．－1－i 参考答案： C 10. 某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 A．  140种        B．  120种        C． 35种    D．  34种[ 参考答案： D 若选1男3女有种；若选2男2女有种；若选3男1女有种；所以共有种不同的选法。选D. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆短轴的端点，且 ∠F1PF2＝90°，则该椭圆的离心率为___________． 参考答案： 略 12. 在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则的值为________________． 参考答案：   1 略 13. 已知等差数列{an}的公差d为正数，a1=1，2（anan+1+1）=tn（1+an），t为常数，则an=　  　． 参考答案： 2n﹣1 【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】根据数列的递推关系式，先求出t=4，即可得到{a2n﹣1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n﹣1=4n﹣3，{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n=4n﹣1，问题得以解决． 【解答】解：由题设2（anan+1+1）=tn（1+an），即anan+1+1=tSn，可得an+1an+2+1=tSn+1，两式相减得an+1（an+2﹣an）=tan+1， 由an+2﹣an=t，2（a1a2+1）=t（1+a1） 可得a2=t﹣1， 由an+2﹣an=t可知a3=t+1， 因为{an}为等差数列，所以令2a2=a1+a3， 解得t=4， 故an+2﹣an=4， 由此可得{a2n﹣1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n﹣1=4n﹣3， {a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n=4n﹣1， 所以an=2n﹣1， 故答案为：2n﹣1． 14. 计算：＝_________． 参考答案： 15. 设实数满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为          参考答案： 4 16. 若满足约束条件,且取得最小值的点有无数个,则________. 参考答案： 或 略 17. 已知△的三个内角所对的边分别为，若△的面积为,则           ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB． （Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 参考答案： 【考点】正弦定理． 【专题】计算题． 【分析】（I）由已知条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB，结合和角公式化简可求cosB，进一步可求B， （II）由（I）可得，由△ABC为锐角三角形，可得从而可得 A的范围，而sinA+sinC=sinA+sin（﹣A），利用差角公式及辅助角公式化简可得，从而可求． 【解答】解：（I）由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB． 则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB． ∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0， ∴，又0＜B＜π， ∴． （Ⅱ）由A+B+C=π及，得． 又△ABC为锐角三角形， ∴ ∴． ． 又， ∴． ∴． 【点评】（I）考查了正弦定理，两角和的正弦公式，及特殊角的三角函数值 （II）本题的关键是由△ABC为锐角三角形，建立关于A的不等式，进而求出A的范围，而辅助角公式的应用可以把不同名的三角函数化为一个角的三角函数，结合三角函数的性质进行求解． 19. （本小题满分13分）如图，直四棱的底面为正方形，P、O分别是上、下底面的中心，点E是AB的中点，．   (I)求证：平面PBC:   (II)当时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值：   (III)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心？ 参考答案： 20. (本大题满分10分） 已知定义在R上的函数，其中，且当时，. （1）求a,b的值； （2）若将的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数的图像，令，求h(x)的最大值. 参考答案： （1）∵ f(x)= 又∵当时， ∴，则 ∴ ∴， ∴，   （2）由（1）得 ∵将的图像沿轴向左平移个单位，得到函数的图像 ∴ ∴ ∴的最大值为   21. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为               （I）求，的值；   （II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？ 若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。 参考答案： 解析:(I）设，直线，由坐标原点到的距离为  则，解析得 .又. （II）由(I）知椭圆的方程为.设、 由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设 代入椭圆的方程中整理得，显然。 由韦达定理有：．．．．．．．．① .假设存在点P，使成立，则其充要条件为： 点，点P在椭圆上，即。 整理得。               又在椭圆上，即. 故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② 将及①代入②解析得 ,=,即. 当; 当. 评析：处理解析析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算”，主要讲的是算理和算法。算法是解析决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。 22. 为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米 （1）完成2×2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？ （2）为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方式从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5株玉米中选取2株进行杂交实验，选取的植株均为矮茎的概率是多少？ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （，其中） 参考答案： （1）根据统计数据做出列联表如下：     抗倒伏 易倒伏 合计 矮茎 15 4 19 高茎 10 16 26 合计 25 20 45 经计算，因此可以在犯错误概率不超过的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关. （2）分层抽样，高茎玉米有2株，设为，，矮茎玉米有3株，设为，，，从中取出2株的取法有，，，，，，，，，，共10种，其中均为矮茎的选取方式有，，共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率.