湖北省十堰市高枧中学2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析

湖北省十堰市高枧中学2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为       A.                B.              C.           D. 1 参考答案： C 2. 已知α∥β，a?α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中（　　） A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 参考答案： D 【考点】平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论． 【分析】由题意知B点与a确定唯一的一个平面γ，则γ与β相交且交线仅有一条，再由α∥β知a∥b． 【解答】解：B点与a确定唯一的一个平面γ与β相交， 设交线为b，由面面平行的性质定理知a∥b． 故选D． 【点评】本题考查了确定平面的依据和面面平行的性质定理，是基础题． 3. 若都是实数，且，，则与的大小关系是        A.               B.             C.                D. 不能确定 参考答案： A 4. “单独二胎”政策的落实是我国完善计划生育基本国策的一项重要措施，事先需要做大量的调研论证．现为了解我市市民对该项措施是否认同,拟从全体市民中抽取部分样本进行调查．调查结果如下表： 调查人数 2 10 70 130 310 700 1500 2000 3000 5000 认同人数 2 9 60 116 286 639 1339 1810 2097 4515 认同频率 1 0．9 0．857 0．892 0．922 0．913 0．893 0．905 0．899 0．903 则根据上表我们可以推断市民认同该项措施的概率最有可能为 （    ）  A．0．80           B．0．85        C．0．90        D．0．92 参考答案： C 略 5. 已知直线方程为和分别为直线上和外的点，则方程表示（    ） A．过点且与垂直的直线            B．与重合的直线 C．过点且与平行的直线            D．不过点，但与平行的直线 参考答案： C 略 6. 已知a＞0且a≠1，若当x≥1时，不等式恒成立，则a的最小值是(    ) A.e B. C.2 D.ln2 参考答案： A 7. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表： 广告费用x（万元） 4 2 3 5 销售额y（万元） 49 26 39 54   根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（　　） A. 63.6万元 B. 67.7万元 C. 65.5万元 D. 72.0万元 参考答案： C 【分析】 根据回归方程的性质，利用样本数据的中心点可求出方程的系数，可得答案. 【详解】解：由表中数据得：，， 又回归方程中的为9.4， 故， 将代入回归直线方程，得（万元）． ∴此模型预报广告费用为6万元时销售额为65.5（万元）． 故选：C． 【点睛】本题主要考察统计案例中的回归方程，属于基础题型. 8. 在空间直角坐标系中，平面α内有M（m，﹣2，1）和N（0，m，3）两点，平面α的一个法向量为=（3，1，2），则m等于（　　） A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3 参考答案： C 【考点】平面的法向量． 【分析】先求出=（﹣m，m+2，2），由题意得，从而利用=0，能求出m的值． 【解答】解：∵平面α内有M（m，﹣2，1）和N（0，m，3）两点， 平面α的一个法向量为=（3，1，2）， ∴=（﹣m，m+2，2）， 由题意得，则=﹣3m+m+2+4=0， 解得m=3． 故选：C． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用． 9. 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是(     ) A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质． 【专题】计算题． 【分析】由△ABF2是正三角形可知，即，由此推导出这个椭圆的离心率． 【解答】解：由题，∴即 ∴， ∴， 解之得：（负值舍去）． 故答案选A． 【点评】本题考查椭圆的基本性质及其应用，解题要注意公式的合理选取． 10. 已知是定义在R上的函数，对任意都有， 若的图象关于直线对称，且，则（     ）        A．5                    B．4                     C．3                        D．2 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有____________种。（用数字作答） 参考答案： 36种　 略 12. 在国家宏观政策的调控下，中国经济已经走向复苏. 统计我市某小型企业在2010年1～5月的收入，得到月份（月）与收入（万元）的情况如下表： 月份 1 2 3 4 5 收入 120 130 150 160 190 y关于x的回归直线方程为         . 参考答案： 13. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P的横、纵坐标，则点P在直线上的概率为_________。 参考答案： 14. 函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定φ（A，B）=叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题： （1）函数y=x3﹣x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则φ（A，B）＞； （2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； （3）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2； （4）设曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t?φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）； 以上正确命题的序号为　　（写出所有正确的） 参考答案： （2）（3） 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】由新定义，利用导数逐一求出函数y=x3﹣x2+1、y=x2+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断（1）、（3）；举例说明（2）正确；求出曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，然后结合t?φ（A，B）＜1得不等式，举反例说明（4）错误． 【解答】解：对于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x， 则，， y1=1，y2=5，则， φ（A，B）=，（1）错误； 对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确； 对于（3），设A（x1，y1），B（x2，y2），y′=2x， 则kA﹣kB=2x1﹣2x2， = =． ∴φ（A，B）==，（3）正确； 对于（4），由y=ex，得y′=ex，φ（A，B）==． t?φ（A，B）＜1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误． 故答案为：（2）（3）． 15. 设函数是定义在上的奇函数，若当时，，则满足的的取值范围是   ▲   ． 参考答案： 16. 点P是曲线y=﹣x2上任意一点，则点P到直线y=x+2的最小距离为　　． 参考答案： 略 17. 集合的子集的个数为      ．                     参考答案： 16 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知圆C：，是否存在斜率为1的 直线，使以被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由 参考答案： . 或 略 19. 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)在区间上的最大值和最小值． 参考答案： (Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值. 试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值. 试题解析：（Ⅰ）因为，所以. 又因为，所以曲线在点处的切线方程为. （Ⅱ）设，则. 当时，， 所以在区间上单调递减. 所以对任意有，即. 所以函数在区间上单调递减. 因此在区间上的最大值为，最小值为. 【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果. 20. 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为E，过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）． （I）求椭圆C的方程； （II）设直线l与椭圆C交于不同的两点A，B． （i）若直线l过定点（1，0），直线AE，BE的斜率为k1，k2（k1≠0，k2≠0），证明：k1?k2为定值； （ii）若直线l的垂直平分线与x轴交于一点P，求点P的横坐标xp的取值范围． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（I）由已知中椭圆通径的端点坐标，构造方程组，可得a，b的值，进而可得椭圆C的方程； （II）经过点P（1，0）的直线l可设为x=my+1， （i）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得y1+y2=，y1y2=，由椭圆的右顶点为E（2，0），可得：k1?k2=?==，进而得到答案； （ii）利用点差法，可得kAB=﹣?，故直线l的垂直平分线方程为：y﹣y0=（x﹣x0），令y=0，得P点横坐标，结合由H（x0，y0）在椭圆内部，可得答案． 【解答】解：（I）由已知中过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）． 可得：c=， =，a2﹣b2=c2， 解得：a=2，b=1， ∴椭圆C的方程为：；…3分 （II）设A（x1，y1），B（x2，y2） 证明：（i）∵直线l过定点（1，0），设x=my+1， 由得：（m2+4）y2+2my﹣3=0，…5分 ∴y1+y2=，y1y2=， ∵右顶点为E（2，0）， ∴k1?k2=?====﹣， ∴k1?k2为定值；…8分 （ii）将A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程得：， 两式相减得：（x1﹣x2）（x1+x2）=﹣（y1﹣y2）（y1+y2） ∵直线l的垂直平分线与x轴交于一点P， ∴y1+y2≠0，x1﹣x2≠0， ∴﹣?==kAB， 设AB的中点H（x0，y0），则kAB=﹣?， 故直线l的垂直平分线方程为：y﹣y0=（x﹣x0）， 令y=0，得P点横坐标为：…10分， 由H（x0，y0）在椭圆内部，可得：x0∈（﹣2，2）， 故∈（﹣，）…12分 　 21. 在平面直角坐标系中，点P到两点,的距离之和等于4，动点的轨迹为曲线. (Ⅰ)求曲线