广西壮族自治区南宁市市第三十一中学高二数学理模拟试卷含解析

广西壮族自治区南宁市市第三十一中学高二数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的定义域为， ，对任意，，则 的解集为 A．（，1）  B．（，+）  C．（，）   D．（，+） 参考答案： B 略 2. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c = 2a，则cosB= A．              B.               C.                 D. 参考答案： B 略 3. 以下关于排序的说法中，正确的是（    ） A．排序就是将数按从小到大的顺序排序 B．排序只有两种方法，即直接插入排序和冒泡排序 C．用冒泡排序把一列数从小到大排序时，最小的数逐趟向上漂浮 D．用冒泡排序把一列数从小到大排序时，最大的数逐趟向上漂浮 参考答案： C 4. 已知△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线，则(    ) A．3         B．         C．        D． 参考答案： C 5. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知，则b＝      (　  　) A．3            B．2              C． D． 参考答案： A 6. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如右图).由图中数据可知身高在[120,130]内的学生人数为(   ) A.20        B.25      C.30      D.35 参考答案： C 7. 点M在圆 13 x 2 + 13 y 2 – 15 x – 36 y = 0上运动，点N在射线OM上（O为原点）且| OM | ? | ON | = 12，则N点的轨迹方程为（   ） （A）5 x + 12 y – 52 = 0                      （B）5 x – 12 y – 52 = 0 （C）5 x – 12 y + 52 = 0                      （D）5 x + 12 y + 52 = 0 参考答案： A 8. 一组数据的方差为3，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的3倍，所得到的一组数据的方差是           （    ） A．1    B．27    C．9     D．3 参考答案： B 9. 用反证法证明命题“”,其反设正确的是(    ) A.           B. C.                 D. 参考答案： B 10. 已知，则二项式的二项式系数之和与各项系数之和的积为（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 以上都不对 参考答案： B 【分析】 由定积分的运算性质和定积分的几何意义，求得，进而得二项式系数之和，再令，可得展开式的各项之和为，即可求解，得到答案。 【详解】由定积分的运算性质，可得， 又由表示圆的上半圆的面积，即， 所以， 又由，所以， 所以二项式为的二项式系数之和为 ， 令，可得展开式的各项之和为， 所以二项式系数之和与各项系数之和的积为，故选B。 【点睛】本题主要考查了定积分性质及运算，以及二项式系数之和与项的系数之和的求解及应用，其中呢解答中熟练应用定积分的性质求得的值，以及合理求解二项式系数与项的系数之和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一船在海面 A 处望见两灯塔 P ， Q 在北偏西15°的一条直线上，该船沿东北方向航行4海里到达 B 处，望见灯塔 P 在正西方向，灯塔 Q 在西北方向，则两灯塔的距离为__________． 参考答案： 海里 如图， 在△ ABP 中， AB ＝4，∠ BAP ＝60°，∠ ABP ＝45°， ∴∠ APB ＝75°.由正弦定理得 ． 又在△ ABQ 中，∠ ABQ ＝45°+45°＝90°，∠ PAB ＝60°，∴ AQ ＝2 AB ＝8，于是 PQ ＝ AQ － AP ＝ ， ∴两灯塔间距离为 海里． 12. 若集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|}，则MN＝            。 参考答案： 解析：， MN=。 13. 复数满足(是虚数单位)，则复数对应的点位于复平面的第      象限. 参考答案： 四 14. 已知，一元二次方程的一个根z是纯虚数，则___. 参考答案： 【分析】 设复数z＝bi，把z代入中求出b和m的值，再计算． 【详解】由题意可设复数z＝bi，b∈R且b≠0，i是虚数单位， 由z是的复数根， 可得（bi）2﹣（2m-1）bi+＝0， 即（﹣b2+1+）﹣（2m-1）bi＝0， ∴ ， 解得，， ∴z＝i，z+m＝i ∴|z+m|＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查复数相等的概念和复数模长的计算，属于基础题． 15. 已知，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是----______ 参考答案： 略 16. 不等式x2﹣x﹣2＞0的解集是　　　　　　． 参考答案： {x|x＞2或x＜﹣1} 考点： 一元二次不等式的解法． 专题： 计算题． 分析： 先将一元二次不等式进行因式分解，然后直接利用一元二次不等式的解法，求解即可． 解答： 解：不等式x2﹣x﹣2＞0化为：（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2或x＜﹣1． 所以不等式的解集为：{x|x＞2或x＜﹣1}； 故答案为：{x|x＞2或x＜﹣1}． 点评： 本题是基础题，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题． 17. 如果不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是       ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. （Ⅰ）证明：为定值，并写出点E的轨迹方程； （Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与C1交于P,Q两点， 求证：是定值，并求出该定值. 参考答案： （I）（）；（II） 【分析】 （I）根据几何关系，即可证明为定值，再利用椭圆的定义即可求出点E的轨迹方程； （Ⅱ）利用点斜式设出直线l的方程，与椭圆方程联立方程组，得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系以及弦长公式表示出，同理可得，代入中进行化简即可证明为定值。 【详解】（I）因为，，故， 所以，故. 又圆的标准方程为，从而， 所以，由题设得，，， 由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）. （II）依题意：与轴不垂直，设的方程为,,. 由得,. 则，. 所以. 同理： 故(定值) 【点睛】本题考查解析几何中的轨迹问题以及定值问题，综合性强，运算量大，属于中档题。 19. 已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且满足a1+a5=10，S4=16；数列{bn}满足：b1+3b2+32b3+．． ．+3n﹣1bn=，（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）通过联立a1+a5=10、S4=16可知首项和公差，进而可知an=2n﹣1；通过作差可知当n≥2时bn=，进而可得结论； （Ⅱ）通过（I）anbn=（2n﹣1），进而利用错位相减法计算即得结论． 【解答】解：（Ⅰ）依题意，， 解得：， ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1； ∵b1+3b2+32b3+…+3n﹣1bn=， ∴b1+3b2+32b3+…+3n﹣2bn﹣1=（n≥2）， 两式相减得：3n﹣1bn=﹣=， ∴bn=（n≥2）， 又∵b1=满足上式， ∴数列{bn}的通项公式bn=； （Ⅱ）由（I）可知anbn=（2n﹣1）， 则Tn=1?+3?+…+（2n﹣1）， Tn=1?+3?+…+（2n﹣3）+（2n﹣1）， 两式相减得： Tn=+2（++…+）﹣（2n﹣1） =2?﹣﹣（2n﹣1） = [1﹣（n+1）]， ∴Tn=1﹣（n+1）． 【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题． 20. 已知曲线C上的动点P（）满足到定点A(-1,0)的距离与到定点B（1,0）距离之比为 (1)求曲线C的方程。 (2)过点M(1,2)的直线与曲线C交于两点M、N，若|MN|=4，求直线的方程。   参考答案： （1）由题意得|PA|=|PB|                              ……2分; 故                    ……3分; 化简得：（或）即为所求。  ……5分; （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 将代入方程得， 所以|MN|=4，满足题意。    ……8分; 当直线的斜率存在时，设直线的方程为+2 由圆心到直线的距离                   ……10分; 解得，此时直线的方程为 综上所述，满足题意的直线的方程为：或。      ……12分.   略 21. 已知与曲线C：相切的直线交的正半轴与两点，O为原点，=a，，． （1）求线段中点的轨迹方程； （2）求的最小值．（12分） 参考答案： 解析：（1）设AB的中点为P(x,y) ,圆C的方程化简为： 又直线的方程为：，，    ①，又∵P是AB的中点， ，代入①得，即线段中点的轨迹方程为；． （2）， ，.∴． 22. 已知函数f（x）=sincos﹣cos2+ （1）若x∈[0，]，且f（x）=，求cosx的值； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c+a，求f（B）的取值范围． 　 参考答案： 解：（1）依题意得，           ………………………………2分 由得：，， 从而可得，                       ………………………………4分 则……6分 （2）由得：，从而，…………………10分   故                 ……………………………………12分 略