河北省衡水市光明中学高三数学理上学期期末试卷含解析

河北省衡水市光明中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. △的内角,,的对边为,,,已知,,,则△的面积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 2. 设变量x，y满足约束条件：，则的最大值为 A．10    B．8      C．6   D．4 参考答案： B 3. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为(　　) A. 　   B.      C.    D.  参考答案： B 4. 由曲线，围成的封闭图形的面积为(　　) A．            B．                C．               D． 参考答案： C 5. 已知集合，，则（    ） A．(－3, －2)       B．(－∞,1)     C．(－3, 1)      D．(－∞,1)∪(2, +∞) 参考答案： A 6. △ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若则b=（  ） A．        B．         C．         D． 参考答案： A 略 7. 已知点，抛物线的焦点是，若抛物线上存在一点，使得最小，则点的坐标为 （A）          （B）               （C）              （D） 参考答案： D 略 8. 已知，则的最小值为（    ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 参考答案： B 【分析】 由已知等式得到，利用可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】由得： （当且仅当，即时取等号） 的最小值为 故选： 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.   9. 设集合，则满足的集合B的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 参考答案： D 10. 我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a2)(a>0,试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为(    ) A．600    B．400    C．300     D．200 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积为　　． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由题意可得BC边上的高为||，利用直角三角形中的边角关系求得∠C=30°=∠B，可得∠A=120°，AB=AC，利用余弦定理求得AB=AC的值，可得△ABC的面积?AB?AC?sin120° 的值． 【解答】解：等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积 故BC边上的高为||，故有sin∠C==，∴∠C=30°=∠B，∴∠A=120°，AB=AC， ∴=AB2+AC2﹣2AB?AC?cos120°，∴AB=AC=2，∴△ABC的面积为?AB?AC?sin120°=， 故答案为：． 12. 一个组合体的三视图如图，则其体积为________________     参考答案： 略 13. 函数的定义域为_______________． 参考答案： 14. 若圆M：上有且只有三个点到直线的距离为2，则          . 参考答案： 15. 对于问题：“已知两个正数满足，求的最小值”，给出如下一种解法： ，， ，， 当且仅当，即时，取最小值． 参考上述解法，已知是的三个内角，则的最小值为          ． 参考答案： 16. 一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为          ． 参考答案： 如图，不妨设N在B处，， 则有 由 该直角三角形斜边 故答案为 . 17.  设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为                . 参考答案： 4 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数，其中是常数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围. 参考答案： 解：(1)由可得       .          ………………………………………2分 当时, ,.         ………………………………………4分 所以 曲线在点处的切线方程为， 即.                         ………………………………………6分 （2） 令， 解得或.                ………………………………………6分 当，即时，在区间上，，所以是上的增函数. 所以 方程在上不可能有两个不相等的实数根.     ………………………………………10分 当，即时，随的变化情况如下表 ↘ ↗  由上表可知函数在上的最小值为.                                        ………………………………………12分 因为 函数是上的减函数，是上的增函数， 且当时，有.  ………………………………………14分 所以 要使方程在上有两个不相等的实数根，的取值范围必须是 .                             ……………………………………16分 19. 已知函数f(x)，其中e是自然教的底数，a∈R . （I）当a<0时，解不等式f(x)>0； （Ⅱ）若f(x)在[－1，1]上是单调增函数，求a的取值范围； （Ⅲ）当a＝0时，求使方程f(x)＝x+2在[k，k+l]上有解的所有整数k的值。 参考答案： 20. 设Sn为数列{an}的前n项和，已知，，． （Ⅰ）求证：是等差数列； （Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Tn． 参考答案： （Ⅰ）证：当时，， 代入已知得，， 所以， 因为，所以， 所以，故是等差数列； （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以 从而，当时， ， 又适合上式，所以． 所以 ① ② ②－?①得， ?   21. [选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|x+a2|+|x﹣a﹣1|． （1）证明：f（x）≥； （2）若f（4）＜13，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】（1）利用绝对值不等式，结合配方法，即可证明结论； （2）f（4）＜13，可得或，即可求实数a的取值范围． 【解答】（1）证明：f（x）=|x+a2|+|x﹣a﹣1|≥|x+a2﹣（x﹣a﹣1）|=|a2+a+1|=+≥． （2）解：f（4）=， ∵f（4）＜13， ∴或， ∴﹣2＜a＜3． 22. 某地十余万考生的成绩中，随机地抽取了一批考生的成绩，将其分为6组：第一组[40，50），第二组[50，60），…，第六组[90，100]，作出频率分布直方图，如图所示 （I）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩； （II）现从及格的学生中，用分层抽样的方法抽取了70名学生（其中女生有34名），已知成绩“优异”（超过90分）的女生有1名，能否有95%的把握认为数学成绩优异与性别有关？ 附： P（K2≥k0） 0.01 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 参考答案： 【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（Ⅰ）根据题意，计算平均数即可； （Ⅱ）根据分层抽样原理计算从这四组中分别抽取的人数， 填写列联表，计算观测值，对照临界值表得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，计算平均数为 =（45×0.01+55×0.02+65×0.03+75×0.025+85×0.01+95×0.005）×10=67；… （Ⅱ）[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]四组学生的频率之比为 0.3：0.25：0.1：0.05=6：5：2：1， 按分层抽样应该从这四组中分别抽取30，25，10，5人， 依题意，可得到以下列联表：   男生 女生 合计 优异 4 1 5 一般（及格） 32 33 65 合计 36 34 70 ， 对照临界值表知，不能有95%的把握认为数学成绩优异与性别有关．…